יום שישי, 29 בנובמבר 2013

מספרים, צורות, ועקרון אי הוודאות


הנקודות שעל גבי קוביות המשחק שנקראות שש בש (חמש זה בטורקית בש) הן ההוכחה הניצחת לזהות הצורות והמספרים. לא חייבים לראות את הספרה הכתובה בשביל להבין מהו המספר. אבל זה נכון רק במספרים הקטנים, ולא פלא שהמספרים הכתובים הם הרבה יותר שימושיים. עיקרון השימושיות גם מסביר מדוע איננו משתמשים כיום לחישוב במספרים הרומיים המסורבלים, או באותיות האלף בית - מי כיום יודע כמה זה תרפפ"ו?
בכל קוביה מול השש - 1, מול החמש- 2, מול הארבע - 3. כלומר, הצדדים המנוגדים משלימים זה את זה למספר שבע, כמו הימים בשבוע, כמו קני המנורה, כמו שבסמל המגן דוד המשולשים משלימים לשבע את המשושה שעליו הם בנויים.
משחקי הקוביה בנויים על אקראיות ההטלות. אם בהטלה אחת התוצאה הייתה שש וחמש, מה ההסתברות שאותה תוצאה תתקבל בהטלה הבאה? ברולטה זה עוד יותר בולט כי יש 37 תאים שבהם הכדור יכול ליפול.

חלק מחסידי תורת הקוואנטים טענו שבגלל שאלקטרון יכול להופיע בשני מקומות באותו זמן אין וודאות לעקרון הסיבתיות; שהמציאות אקראית כמו הטלת הקוביות בשש בש, ולא ניתן לנבא את התוצאות. אלברט אינשטיין טען נגדם ש"אלוהים לא משחק בקוביות". דרך אגב, אינשטיין בגרמנית זה אבן (שטיין) אחת (אינ) בעברית. לא פלא שבספר יצירה מתחילים את בניית צירופי האותיות (ה"בתים") משתי אותיות ("אבנים"), שהרי אלברט אינשטיין (אבן אחת) יש רק אחד.   

בריאת האישה כמשל לבריאת סדרת המספרים הזוגיים



כל מספר זוגי מתחלק ב-2 וכתוצאה מקבלים או מספר זוגי או מספר פרדי. אם התוצאה היא מספר זוגי הוא מתחלק ב-2, ושוב התוצאה היא או מספר זוגי או מספר פרדי. וכן הלאה, עד שמגיעים ל-2 הראשון שמתחלק ב-2 ונותן 1 שהוא פרדי. כל ההתפתלות הזאת נועדה להראות שהמספרים הטבעיים נשענים על שלד של מספרים פרדיים, שמהם נוצר מספר זוגי כאשר מחברים שני מספרים פרדיים עוקבים ומחלקים את התוצאה בשניים
1+3:2=2
3+5:2=4
5+7:2=6
וכן הלאה
מה גם שמחיבור הפרדיים העוקבים נוצרת גם סדרת המספרים הרבועים:
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16   
וכן הלאה

התבוננות נוספת מגלה שההפרש בין הריבועים נותן את סדרת המספרים האי זוגיים. וכך:
12=1-------  1-0=1
22=4------   4-1=3
32=9------   9-4=5
42=16------ 16-9=7
52=25------25-16=9
62=36------36-25=11







מקורו של מושג המספרים הזוגיים  ככל הנראה אצל חכמי תורת המספרים ביוון של המאה החמישית לפני הספירה, הפיתגוראים. הזוגיים היו חשובים להם כי הם מסבירים את המעבר מאחדות לריבוי. הסבר דומה למעבר מאחדות לריבוי נוכל למצוא בסיפור המקראי על הזוג הראשון, אדם וחווה, שממנו נולדנו כולנו ולכן אנו גם נקראים בשם בני אדם


אצל הפיתגוראים שנים נחשב למספר נקבי. חמש ושש נקראו אצלם בשם מספרי נישואין בגלל שהם צאצאים שנוצרו מהזדווגות (חיבור או כפל) של מספרים נקביים בזכריים. יש אגדה שמספרת שפיתגורס למד מהנביא יחזקאל. אולי פיתגורס הגה את מושג המספרים הזוגיים בהשראת הסיפור על הזוג המקראי הראשון, והבין שאדם מייצג את המספר אחד, ואילו חווה מייצגת את המספר שניים, שנוצר מצלעו.
לכאורה מדובר בערבוב של תורת המספרים עם ביולוגיה, או בהאנשה מיותרת, אבל אולי יש איזה הגיון דתי או תרבותי שמניע את התופעה הזאת. ראוי לזכור שהפיתגוראים לא עסקו בתורת המספרים לשמה, והיא השתלבה במערכת של אמונות דתיות, ובניסיון פילוסופי להסביר איך המציאות תלויה במספרים.  גם אצל יוסף ספרא, שאצלו למדתי את תורת המספרים לפני למעלה משלושים שנה, תורת המספרים לא עמדה בפני עצמה, בטוהרתה, אלא הייתה אחד מן האמצעים לשכלול התודעה של הלומד.
 אצל הפיתגוראים המספר שנים הוא מספר של חושך ושל אשליה, ואילו המספר אחד הוא מספר של אור, ושל אמת. הרעיון של אור ואמת מול צל, שהוא סוג של חושך ואשליה, חוזר ומופיע במשל המערה הידוע של אפלטון, שהיה, ככל הנראה, פיתגוראי.
בין האור לבין החושך, יש מלחמה. הרעיון הזה מופיע בסיפור הבריאה בספר בראשית. לפני הבריאה לא היו לא אור, לא סדר, ולא מספר. הבריאה היא ניצחון האור על החושך, ניצחון הסדר על התוהו ובוהו,  וניצחון המספר (יום אחד, יום שני וכן הלאה) והמחשבה. אגב, המילה מחשבה מכילה בתוכה בשיכול אותיות את המספר חמש (חמש -בה = מחשבה).
גם לדעתו של הרקליטוס האפל, הפילוסוף היווני בן המאה הששית לפנה"ס, העולם בנוי מניגודים שנלחמים בינם לבין עצמם. 
אצל האיסיים שהאמינו בניצחון בני אור על בני חושך, ואצל בני דת זורואסטר, הפרסים, שאצלם האל הטוב, אל האור נאבק באל החושך שהוא רע, כמו שהיום נלחם כל יום עם הלילה. יש תקופות שבהן היום מנצח, ואז הוא ארוך מן הלילה, ולהפך. רעיון זה בא לידי ביטוי גם במשחק השחמט, שבו צבא של לבנים, בני אור, נלחם בצבא של שחורים, בני חושך, עד לנפילת אחד מן המלכים. רעיון זה של מלחמה בין המספרים מובלע גם במילה הכאה, שהיא מילה נרדפת למילה כפל, בשפת המתמטיקאים היהודים בימי הביניים.    

יום חמישי, 28 בנובמבר 2013

חיפוש תבניות בזרם המספרים הטבעיים


היחידות בזרם של ה 369 מתחלפות ביחידות של זרם ה 258 שמתחלפות ביחידות של זרם ה 147 ואז בא האפס ואחריו כל הסיפור מתחיל מחדש: היחידות בזרם של ה 369 מתחלפות ביחידות של זרם ה 258 שמתחלפות ביחידות של זרם ה 147

ואותה תופעה נגלית גם בזרמים האחרים:

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52

2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53

***
אלף שווה שמונה פעמים שמונה:

1000=888+88+8+8+8

יום רביעי, 27 בנובמבר 2013

אפס כצורה תלת ממדית


כשאז'ן יונסקו כתב את המחזה "העתיד טמון בביצים", בשנת 1951, אינני מאמין שהוא חשב על האפס, אבל כמו שאנחנו מתרגמים צורות למספרים, אנחנו גם מתרגמים זמן למספרים. הכל מתחיל באפס, שהוא אחד, ובגלל שהוא אחד אנחנו יכולים לדמות את האחד וליצור אותו. והאחד יכול לראות את עצמו במראה, ואז יש כבר עוד אחד. האחד הראשון קורא לעצמו ראשון ולזה שבמראה שני, אבל גם זה שבמראה יכול לראות את עצמו ראשון ואת זה שמחוץ למראה כשני - וככה כבר יש לנו את מושג הארבע.
דלגנו על השלוש, שהוא הצאצא של האחד הפרדי ושל השנים הזוגי, והצאצאים הם העתיד, כי, כאמור, העתיד טמון בביצים.

את התנועה קדימה במספרים, את הפלוס אחד, אנחנו מתרגמים למחר, את הפלוס שניים למחרתיים. את התנועה לאחור, את המינוס אחד, אנחנו מתרגמים לאתמול, ואת המינוס שניים לשלשום, שמקור שמו במילה שלש. בתנ"ך מדברים על וַיְהִי עֶרֶב וַיְהִי בֹקֶר יוֹם אֶחָד לעומת אחרית הימים.

ועל אותו עיקרון יש לנו את השבוע שעבר ואת השבוע הבא, את החודש שעבר ואת החודש הבא, שיבוא בעוד חודש, את השנה שעברה עם קללותיה ואת השנה שתבוא עלינו לטובה עם ברכותיה, ואת השלג של השנה שעברה שהוא בארמית השלג דאשתקד.

יום שני, 25 בנובמבר 2013

אופי של מספר



אחד ותשע הם הגבולות של היחידות ומעבר לגבול - האפס. האחד, כשמוסיפים אותו למספר כלשהו- משנה אותו
1+1=2
2+1=3
אבל התשע כשמוסיפים אותו למספר כלשהו- לא משנה אותו, כשמחברים את ספרותיו מעבר לאפס:
1+9=10=1
2+9=11=2
יש מי שממהרים להסיק מתופעה זו מסקנות מיסטיות על "האופי" של היחידות בכלל ועל "האופי" ההפוך של האחד והתשע בפרט, אבל לדעתי תופעה זו נובעת אך ורק ממיקומם בטור המספרים. אם ממשיכים לבדוק את התופעה לגבי המספר שמונה - כשמוסיפים אותו למספר כלשהו המספר משתנה לכיוון השני, כאילו מפחיתים ממנו אחד:
3+8=11=2
4+8=12=3
וכך גם השבע... כאילו מפחיתים ממנו שניים:
4+7=11=2
5+7=12=3
 וכך גם לגבי שאר המספרים.
המספרים הם ישויות ערומות שמלבישים אותן בכל מיני לבושים. הם כמו נשמות לפני שהן מתגלגלות בגופים. לא פלא שמשתמשים באותו מונח, גלגול, לציון גלגול נשמות ולציון גלגול מספרים, שהוא תוצאה של חיבורם לתשע:
1+9=10
10+9=19
19+9=28
אומרים:
10 הוא הגלגול השני של אחד
19 הוא הגלגול השלישי של אחד

28 הוא הגלגול הרביעי של אחד

יום ראשון, 24 בנובמבר 2013

המספרים האי זוגיים וריבועיהם


בטור המספרים האי זוגיים
1-3-5-7-11
...
חיבור של שני המספרים הראשונים שווה לריבוע של 2
חיבור של שלשת המספרים הראשונים שווה לריבוע של 3
חיבור של ארבעת המספרים הראשונים שווה לריבוע של 4
וכן הלאה עד אינסוף
מקור: ספר האחד לרבי אברהם אבן עזרא
אפשר לראות בצילום שהשבע (הגולות האפורות) בנוי ממרכז (הגולה הרביעית) שלצדו שתי קבוצות שבכל אחת מהן יש אותו מספר (3) של גולות. זה  נכון לגבי כל המספרים האי זוגיים. התופעה הזאת נקראת בית, או  
2X+1  
 המעבר מריבוע לריבוע שמעליו נעשה באמצעות הוספת הבית שמספר היחידות שבX שלו זהה למספר שבריבוע. בצילום המספר בריבוע הוא 3. מוסיפים לו שתי קבוצות של שלש (שני X) ומספר מרכזי כלומר 7=3+3+1

מיכאל קוסטה בספרו חתך הזהב חותם שלמה ומגן דוד מתייחס בהרחבה לתופעה זו. הוא גם מתפעל מן העובדה שהריבועים נכנסים אחד בתוך השני כמו בובות רוסיות. ואולי ההשראה לייצור אותן בובות באה מתופעת גידול ריבועי המספרים.



אם נתבונן שוב בחיבור המספרים האי זוגיים נראה
 דבר מעניין:

0+1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
1+3+5+7+9+11=36

הריבוע הראשון נוצר מחיבור של אפס עם אחד, ויוצא שהאפס הוא מספר אי זוגי, כמו כל שאר המרכיבים בתצוגה זו.
***
לעומת זאת על טור המספרים הטבעיים האפס הוא מספר זוגי: הוא המפריד בין החיוביים לשליליים,  ובמיקומו בין אחד למינוס אחד - שהם אי זוגיים - הוא חייב להיות זוגי, כי מה שמאפיין כל מספר זוגי הוא שהוא קטן בשניים מהמספר הזוגי שמעליו, וגדול בשניים מהמספר הזוגי שמתחתיו. 

מספרי הזמן


אם שואלים עובר אורח באיזו שיטה הוא משתמש במספרים בחיי היום-יום רוב הסיכויים שהוא יענה שבשיטה העשרונית, אבל אנחנו משתמשים לא פחות בשיטה שמבוססת על המספר 12 לחישובי זמן.
לשיטה העשרונית יש בסיס טבעי - עשר אצבעות, אבל גם לשיטת ה 12 יש בסיס טבעי, כי הירח מתמלא 12 פעמים בשנה.
בראש השנה הירח מכוסה. יום כיפור מתחיל עשרה ימים אחריו. לכן נקראים עשרת הימים שבין ראש השנה ליום כיפור "בין כֶּסֶּה לעשור". אבל אפשר לפרש גם שכסה הוא האפס שאינו נראה, ועשרת הימים הראשונים של השנה מתרחשים בין האפס שלפני האחד לבין האפס שאחרי התשע. 
שפת השעון ושפת המטר הן שתי שפות שונות. חצי שעה זה 30 (דקות) וחצי מטר זה 50 (סנטימטר).

והשבוע... זו כבר שפה שלישית. 

ערבוב מעניין של זמן ושל מספר נוכל לראות במילה האנגלית TIMES שמשמשת משום מה גם כשמו של הזמן וגם כמילה נרדפת לכפל. 
***

לדעת פילון (על בריאת העולם ספר ראשון סעיף 60) אלוהים ברא את המאורות כדי שישמשו בין היתר לקביעת מועדים, ומכאן שהמספרים נשענים על הזמן [ולא כפי שנוהגים לחשוב שהזמן נשען על המספרים] "כי מיום אחד בא המספר אחד, ומשניים-המספר שניים, ומשלשה-המספר שלשה, ומחודש-המספר שלושים, ומשנה - הקיבוץ השווה במספרו לימים המצטרפים מ 12 חודש,  ומזמן האינסופי  המספר האינסופי".  

יום שבת, 23 בנובמבר 2013

מנעול קוד


את מנעול הקוד (נקרא גם מנעול צירופים, מנעול קומבינציה, מנעול לוקר) יכול לפתוח רק מי שיודע את הקוד (של השער, של המזוודה, של שרשרת האופניים וכיוצא באלה). הקוד אינו חייב להיות של מספרים, הוא יכול להיות מורכב מאותיות או מסימנים אחרים, אבל מה שהמנעול הזה מלמד אותנו על המספרים הוא שיש במספרים גדולים אפשרויות רבות כל כך להגיע לרצף הנכון, שהפתיחה עשויה להתעכב לזמן רב.

בספר יצירה מומחש רעיון זה כך: " שתי אבנים [שני מספרים] בונות שני בתים [ניתן לחבר בשתי אפשרויות], שלש אבנים בונות ששה בתים, ארבע אבנים בונות ארבעה ועשרים בתים, חמש אבנים בונות מאה ועשרים בתים, שש אבנים בונות שבע מאות ועשרים בתים, שבע אבנים בונות חמשת אלפים וארבעים בתים, מכאן ואילך צא וחשוב מה שאין הפה יכול לדבר ואין האוזן יכולה לשמוע" (פרק ד משנה ט"ז). 

יחס הזהב


יחס הזהב (או חתך הזהב) הוא שמו של המספר

  ... 1.6180339887

בתמונה: פסל בשם יחס הזהב מאת אנדרו רוג'רס מאוסטרליה שמוצב ליד קניון מלחה בירושלים משנת

2006. הפסל בנוי משלושים ושתים אבנים, כל אחת מהן שוקלת כששה טון.

גובה האבנים מצד ימין עד המרכז או מצד שמאל עד המרכז:

1, 1, 2, 3, 5, 8

הוא ההתחלה של סדרת פיבונאצ'י, שבה היחס בין שני מספרים סמוכים קרוב מאד ליחס הזהב. כל מספר בסדרה זו שווה לסכום שני קודמיו

2= 1+1

3= 2+1

5= 3+2

8= 5+3

לגילוי סדרה זו הייתה השפעה עצומה על אמנות, מוסיקה, ארכיטקטורה, והיא נתגלתה גם בתופעות בטבע כגון ביחסים בין אברי הגוף, ובאופן שבו מסודרים עלים של צמחים שונים.

יום שישי, 22 בנובמבר 2013

תוכנו של מספר





לפנינו 45 גולות שמסודרות בצורת משולש שהבסיס שלו תשע וקדקודו אחד
אבל ניתן להתעלם מהתשע ולהתבונן במשולש שבסיסו שמונה וקדקודו אחד
להתעלם מהשמונה ולהתבונן במשולש שבסיסו שבע וקדקודו אחד וכו'
ואפשר להציג בצורה שכזאת כל מספר.
המעבר ממספר למספר נעשה באמצעות הוספת אחד (במקרה שלפנינו הוספת גולה אחת)

מפליא שהמספרים האי זוגיים מסודרים להם כל כך יפה על חוצה הזווית, שבאותה הזדמנות גם מחלק את המספרים הזוגיים לשתי קבוצות שבכל אחת מהן אותו מספר של יחידות.
*
המשולש שבסיסו ארבע נקרא בפי הפיתגוראים בשם טטרקטיס, ולתוכנו, עשר, הם העניקו מעמד של  קדושה.

תוכן של מספר בול הודי פירמידה

המספרים אחד עד עשר במטבעות


זרמים



כשקוראים את המספרים בחוגת הטלפון במאונך  ניתן לראות כי הזרם הטבעי של המספרים 
 (1, 2, 3, 4 ...)
מתחלק ל 3 זרמים:
1, 4, 7, וניתן להמשיכו עד אינסוף: 10 , 13 ...
2, 5, 8, וניתן להמשיכו עד אינסוף:  11, 14 ...
3, 6, 9, וניתן להמשיכו עד אינסוף:  12, 15 ...
כאשר מחברים את המספרים החל מ10 מקבלים
1+0=10
1+3=4
והתבנית של 147 חוזרת על עצמה.

1+1=2
1+4=5
והתבנית של 258 חוזרת על עצמה.

1+2=3
1+5=6
והתבנית של 369 חוזרת על עצמה.





תופעת הזרמים של המספרים בולטת גם כשמחפשים איזה מספר עומד מול איזה מספר בשעון:
12 מול 6 - שניהם שייכים לזרם של 369 (חיבור הספרות של 12 שווה שלש).
1 מול 7 - שניהם שייכים לזרם של 147
2 מול 8 - שניהם שייכים לזרם של 258
3 מול 9 - שניהם שייכים לזרם של 369
4 מול 10 - שניהם שייכים לזרם של 147 
5 מול 11 - שניהם שייכים לזרם של 258 (חיבור הספרות של 11 שווה שנים).
בגימטריה המילה שמש (שהיא פלינדרום) ערכה 640 וסכום הספרות שלה, מאה, מצטמצם ל-10 (שהיה מספר קדוש לפיתגוראים) ולאחר מכן  ל-1, ששייך  לזרם המספרים המקוריים 147.
המילה ירח ערכה 218 וסכום הספרות שלה, 11, שווה ל-2, ששייך לזרם המספרים המעורבים 258

המילה ככב כל אחת מאותיותיה שווה בספירה המצומצמת  ל-2 אבל סכומן, 6, שייך לזרם המספרים החוזרים על עצמם, 369 שמתחיל בשלוש. בקיצור: בגימטריה שמש - אחד, ירח- שניים. כוכב[ים]- שלש.
***
הנוסחה של הזרם של 147 היא 3X+1
של 369 - 3X
של 258 - 3X-1
כאשר מציבים אחד בנוסחה של ה 3X+1
3+1=4
6+1=7
9+1=10
12+1=13
15+1=16
וכאשר מציבים אפס מקבלים את האחד הראשון
0+1=1

או בניסוח אחר כאשר X הוא אפס נברא האחד... יש מאין. מה שמלמד על מקוריותו של זרם זה, שהוא בעצם הזרם של האפס.
***
תודה לחיליק ואו פתוח ששלח לי את המראה הבא:
כל אחד משלשת המספרים הראשונים יוצר באמצעות הוספת 3 לעצמו שלושה זרמים אינסופיים של מספרים
147
258
369
וזה נראה כמו איזה חוק שאין לו הסבר.
אבל ניתן לראות איך נברא הזרם של 147 אם מתייחסים לכל הואריאציות של 4
  1111=4
1114=7
1144=10
1444=13

4444=16

יום חמישי, 21 בנובמבר 2013

לפנה"ס



אצל היהודים העולם נברא לפני תשע"ד שנים, והזמן נמשך ללא הפרעה מאז ועד היום... ויימשך  כך גם מחר. אצל הנוצרים יש ספירה שונה שמתחילה לפני 2013 שנים. כל האירועים שקרו לפניה מסודרים על סרגל הזמן כמספרים שליליים, ולשמאלם סימן מינוס, שנקרא בעברית פחות. כל האירועים שקרו במסגרתה מסודרים על סרגל הזמן כמספרים חיוביים, ולשמאלם סימן פלוס, שנקרא בעברית ועוד, ונראה, למרבה הפלא, כמו צלב. על סרגל הזמן הנוצרי אפס הוא התחלה של תקופת הברית החדשה וסוף של תקופת הברית הישנה.
אחד לספירה הנוצרית מרוחק מהאחד שלפניה בשני מקומות.
2 לספירה מרוחק מ 2 לפנה"ס ב-4 מקומות.
3 לספירה מרוחק מ 3 לפנה"ס ב-6 מקומות.
וזוהי המחשה נחמדה לטור המספרים הזוגיים.

מעניין שבמקרה זה האפס על הסרגל הוא קו או נקודה, או מקום, והוא מוחשי כמו כל מספר אחר על הסרגל. הוא המשהו שבין האחד החיובי לאחד השלילי, בין השנים החיובי לבין השניים השלילי וכן הלאה. הוא עצמו אינו חיובי ואינו שלילי, או שהוא גם חיובי וגם שלילי, בכל אופן יש לו מעמד מיוחד שאין לאף מספר אחר, ובלעדיו אף אחד מהם לא היה מתקיים, כי ערכו של כל מספר נקבע לפי יחסו לאפס, והיחס הזה הוא יחס שכולל את הניגודים קרוב ורחוק. האחד קרוב יותר אל האפס מן השניים, והשלש רחוק יותר מן האפס מן השניים. אבל האפס אינו קרוב לעצמו או רחוק מעצמו, ואם אומרים שטוב להיות קרוב, ורע להיות רחוק - אז האפס הוא מעבר לטוב ולרוע. 

תוכו כברו


האפס אין תוכנו כברו (בר היא מילה נרדפת לחוץ, חיצוניות). הוא אחד, אבל לא רואים שהוא אחד, כי הוא אינו נראה. הוא קבוצה ריקה, קופסה ריקה, שאין בה תוכן. שמו אפס, לא אחד.
השניים הוא אחד, יש רק מספר אחד שנקרא בשם שניים, אבל הוא קבוצה שמכילה שתי יחידות. תוכו שניים וברו אחד. זה הבסיס למימרה אחד בפה ואחד בלב, ולמטבע הלשון דו פרצופי.
האחד הוא המספר היחיד שתוכו כברו. הוא אחד, שמו אחד, תוכנו אחד.

מבחינה זו דומה לו המגן דוד, שמורכב מששה משולשים פנימיים וששה משולשים חיצוניים שחופפים להם, כך שאם מקפלים אותם הם נעלמים, ונשאר מן המגן דוד משושה, שמכיל רק את המשולשים הפנימיים. רמז לעניין זה בפסוק שש כנפיים לאחד (ישעיהו ו, ב). 

פסלי מספרים ברחבת השעון הפורח ליד הכנסת





אנחנו לא מתבוננים במספרים שכתובים על הדף, כמו שאנחנו לא מתבוננים באותיות שמרכיבות את המילים - אנחנו נאחזים במשמעותם. מספרים הם בעצם סוג של מילים, ואם אנחנו קוראים אותם בקול אין שום הבדל בינם לבין אותיות. רק אם מספר מופיע ביצירה אמנותית יש סיכוי שנתבונן בו, בצורתו, בצבעו, בגודלו. 

יום רביעי, 20 בנובמבר 2013

התבוננות באפס



האפס צורתו עגולה (0), והעיגול נחשב לצורה נשית ביחס לאחד (1) שצורתו זוויתית, גברית.
האחד יוצא מן האפס, בבחינת יש מאין, כמו עובר מן הרחם. כל חיותו מקורה באפס. כל המספרים נשענים על האחד, כי כל אחד מהם מורכב מאחדים. כשמתבוננים במספר כלשהו רואים שמקורו באחד, אבל לא רואים שמקורו של האחד באפס, כי את האפס לא ניתן לראות. ורמז לעניין זה בפסוק וַיֹּאמֶר לֹא תוּכַל לִרְאֹת אֶת פָּנָי כִּי לֹא יִרְאַנִי הָאָדָם וָחָי (שמות לג כ) ובמדרש נאמר: בחייהם אינם רואים אבל במיתתם רואים (ספרא על ויקרא א), כי במיתתם הם חוזרים לאפס, ורק אפס יכול לראות אפס, אם הוא בכלל יכול לראות.

אנחנו אומרים שמה שמשותף לכל המספרים הוא האחד, כי כולם מורכבים מאחדים, אבל האפס, למרות שהוא אחד, אין בו אף אחד, ולכן לא ברור בכלל אם הוא מספר.  אוקלידס אמר על הנקודה שאין לה חלקים, ומכיוון שיש הקבלה בין מספר לצורה, בין אריתמטיקה לגיאומטריה,  כך שנקודה מקבילה לאחד, קו לשניים, משולש לשלש, וכן הלאה - ניתן להבין מדבריו שגם לאחד אין חלקים, ולרגע נדמה אפילו שזה מה שמייחד אותו מכל שאר המספרים, אבל,  במבט שני, גם לאפס אין חלקים. 
כל מספר שמוסיפים לו אחד יוצר את המספר שמעליו, שהוא גדול ממנו באחד, או לימינו בטור המספרים הטבעיים, וכשגורעים ממנו אחד יוצר את המספר שמתחתיו, שהוא קטן ממנו באחד, או לשמאלו בטור המספרים הטבעיים
4, 3, 2, 1

יש אומרים שהאפס איננו מספר, שהוא רק מציין מקום ריק, העדר מספר. אבל אם מספר נוצר ממספר באמצעות הוספת אחד, האפס אינו יוצא מן הכלל. הוא יוצר את האחד הראשון על ידי הוספת אחד לעצמו, והאחד יוצר את האפס על ידי גריעתו את עצמו, שהיא מעין התאבדות. 
האפס הוא אחד, אבל לא רואים אותו. הוא כמו ממטרה קופצת שנבלעת בדשא של מגרש הכדורגל בזמן המשחק, אבל קופצת ומתנשאת מעליו כשרוצים להשקות את הדשא. כשרואים את הממטרה רואים את האחד; יודעים שקדם לו האפס. גם האפס שבעשיריות אינו נראה, למרות שרואים את הספרה שלו. היא מציינת שיש לפניו תשעה.

 אפס בתנ"ך מופיע גם כמילת קישור, במשמעות של  אבל, אולם, אך. הוא גם מופיע כפועל במשמעות של נגמר, כלה. מילה נרדפת לאפס - אין. בישעיהו האפס והאין מופיעים כמה פעמים באותו פסוק, וזאת הסיבה שהוענק לו השם הזה. המילים אין ואני מורכבות מאותן אותיות בסדר שונה, ולכן אולי נוצר הביטוי המקראי אני ואפסי עוד, כמעין וריאציה על אפס ואין. גם במימרה של הלל הזקן, אם אין אני לי מי לי, מופיעים האין והאני בצמידות שהיא, ככל הנראה, מכוונת.
*

המילה האנגלית LEFT משמעותה גם שמאל וגם שארית. אם אני מניח שבעה אגוזים בשורה ואוכל את הארבעה שמימין נשארים לי שלושת האגוזים שמשמאל. פעולת החיסור הפכה לאפס את ארבעת האגוזים שמימין, והשאירה בחיים את השלושה שמשמאל כשארית, כ- LEFT WHAT'S, כ- LEFTOVER.

יום שלישי, 19 בנובמבר 2013

התבוננות באחד


כל מספר כשאתה כופל אותו באחד, או מחלק אותו באחד - נשאר אותו מספר.
על טור המספרים הטבעיים כל מספר גדול מהמספר שלפניו באחד וקטן מהמספר שאחריו באחד.  

אחד, כשאתה מחבר אותו עם עצמו, כפול מאשר כשאתה מעלה אותו בריבוע - וזו תופעה שמיוחדת לו. לעומתו שניים כשאתה מחבר אותו עם עצמו, שווה ארבע, וכך גם כשאתה מעלה אותו בריבוע, וזו תופעה שמיוחדת לו. החל מהמספר שלוש מקבלים מספרים אחרים כשכופלים בשניים מאשר כשמעלים בריבוע. 
 



כל מספר יכול להיות אחד, ראשון, תלוי מאיפה מתחילים לספור. אתה יכול לקחת שורה של אפונים לבחור אחד מהם ולמחוק את האחרים, או להתעלם מהם ולהתחיל לספור ממנו. כל אפון דומה לשכנו בכך שהוא אחד, ומקבל את שמו (שני, שלישי וכן הלאה) על פי מיקומו בשורה.    
אחד מתחיל את הזרם של 1, 4, 7, 10, 13
הערך של אחד בגימטריה 13. 13 הוא האיבר החמישי בזרם הנ"ל. סכום הספרות של 13 הוא 4, שהוא האיבר השני בזרם זה. 

חינוך לאהבת המספרים


כשאבי רצה לקרב אותי ללימוד חשבון, הוא הראה לי, בהיותי כבן עשר, חישוב מקוצר, שמאד התפעלתי ממנו, שחל על סדרת המספרים שמסתיימים בחמש: לדבריו, כשכופלים מספר שכזה בעצמו, כופלים את הספרה הראשונה בזו שמעליה ומוסיפים 25. לדוגמה,  ב- 15 כופלים את ה-1 ב-2 ומוסיפים 25
225=15.15
ב- 25 כופלים את ה-2 ב-3 ומוסיפים 25
625=25.25
וכן הלאה.

ביהדות מקרבים את הילדים לנושא סכומי המספרים באמצעות השיר ששרים בפסח "אחד מי יודע" ובאמצעות נרות חנוכה. אחותי סיפרה לי  שנרות חנוכה הם המחשה לסכומי המספרים מאחד עד תשע, כי ביום הראשון מדליקים שני נרות, בשני - שלושה, בשמיני - תשעה, ובסך הכל 44 - שהוא סכום המספרים שכלולים בתשע פחות אחד, כי אין יום שבו מדליקים רק נר אחד.

מלים שלא נראות כמו מלים של מספר


המספר הוא תשובה לשתי שאלות יסוד: האחת היא כמה והשנייה היא מתי. "כמה" מורכבת בעצם משתי מלים: כמו מה, שמשמעותן: כמו איזה מספר. כשרוצים לדעת גיל של מישהו שואלים אותו: בן כמה אתה.
ספר במדבר נקרא באנגלית ספר המספרים, book of numbers, בגלל שהוא פותח בצווי של האל למשה לערוך מפקד אוכלוסין של בני ישראל:..." בְּמִסְפַּר שֵׁמוֹת כָּל זָכָר לְגֻלְגְּלֹתָם.  מִבֶּן עֶשְׂרִים שָׁנָה וָמַעְלָה כָּל יֹצֵא צָבָא בְּיִשְׂרָאֵל תִּפְקְדוּ אֹתָם"... המפקד נועד לענות על השאלה כמה אנשים מעל לגיל עשרים יש בעם ישראל במדבר. (המילה אוכלוסין מקורה ביוונית ומשמעותה המון אדם, כמות גדולה של אנשים).

פעולת החילוק נועדה לענות על השאלה כמה חלקים יש למספר מסוים, וכמה אחדים יש בכל חלק.
עשר לחלק לשתים משמעו שכאשר יש לעשר שני חלקים כל אחד מהם מכיל חמישה אחדים. 

כמה כולל גם כשאלת משנה את המדידה, שהיא ניסיון לענות על השאלה מה גודלו של דבר מסוים. כששואלים מה המרחק מעיר מסוימת לעיר מסוימת שואלים בעצם כמה קילומטרים יש ביניהן, והתשובה היא במספר. המילה ממד מצביעה על מה שניתן למדידה: אורך, רוחב, גובה, וכן: משקל, מהירות, כסף וכיוצא באלה.


בתנ"ך יש הבחנה בין מה שניתן למדידה לבין מה שאינו ניתן למדידה.
ניתן למדידה: "ושאר עץ יערו מספר יהיו ונער יכתבם." (ישעיהו י יט)


שאינו ניתן למדידה: וַיּוֹצֵא אֹתוֹ הַחוּצָה וַיֹּאמֶר הַבֶּט נָא הַשָּׁמַיְמָה וּסְפֹר הַכּוֹכָבִים אִם תּוּכַל לִסְפֹּר אֹתָם וַיֹּאמֶר לוֹ כֹּה יִהְיֶה זַרְעֶךָ. (בראשית טו ה). וַיִּצְבֹּר יוֹסֵף בָּר כְּחוֹל הַיָּם הַרְבֵּה מְאֹד עַד כִּי חָדַל לִסְפֹּר כִּי אֵין מִסְפָּר (בראשית מא, מט).


ועוד כמה מילים שאינן נראות כמו מילים של מספר:
יום הולדת
בן בכור- הבן הראשון
בן זקונים- הבן האחרון
פחת (כל שנה ערך המכונית יורד)

מחיר

קרנטינה - מהמילה הלטינית ל 40. ימי בידוד של מלחים שבאו מאזור מוכה מגפה שחורה בימי הביניים. 

יום שני, 18 בנובמבר 2013

שימוש במספרים באמנות


מספרים מופיעים ברבים מציורי השואה של בני פלג. הם נועדו להמחיש את משמעות המספר שישה מיליון, אבל הם גם מזכירים את המספר שקועקע על ידם של אסירי הנאצים.  

* הצילום באדיבות בני פלג וכל הזכויות עליו שמורות לו

לא ברור לי אם השימוש של הנאצים במספר במקום בשם על מנת להשפיל את אסירי מחנות הריכוז השפיע על יוצרי סדרת הטלוויזיה הבריטית, המוצלחת במיוחד, "האסיר" (1967), אבל אני זוכר ממנה היטב את הצעקה של האסיר: "אני לא מספר - אני בן חורין".  

כמה הבדלים בין כמה מן המספרים הראשונים



מה ההבדל בין אפס לאחד?
האפס מייצג את מה שאיננו והאחד מייצג את מה שישנו. האפס הוא מקור כל המספרים והאחד נברא ממנו בשיטת יש מאין.
בטור המספרים הזוגיים המספר הזוגי הקודם לשש הוא ארבע. זה שלפניו - שניים. זה שלפניו - אפס? האם האפס זוגי?


מה ההבדל בין אחד לשניים?
אחד מייצג אחדות ושניים מייצג הפרדה.
בתיאולוגיה משתמשים במספרים לציון מספר האלים שעליהם מדברים. מונותיאיזם הוא אמונה באל אחד  (מונוס ביוונית -אחד, תאוס- אלוהות) בהבדל מן האמונה בשתי רשויות כמו בדת זרתוסטרה. המונותיאיסטים אומרים שאותו אל "יוצר אור ובורא חושך" (ישעיהו מה ז). חסידי זרתוסטרה מאמינים שאל אחד יוצר אור ואל אחר בורא חושך. המילה דואליזם  באה מהמילה הלטינית לשניים -  דואו.  המילה פוליתאיזם באה מיוונית: פולי משמעה הרבה, תאוס משמעה אל.

מה ההבדל בין השניים לשלש?
אנחנו רגילים לחשוב שהשניים מתחיל את הסדרה של הזוגיים  והשלש מתחיל את הסדרה של הפרדיים, אבל שתי סדרות חשובות אלה מתחילות באחד שהוא גם זוגי וגם פרדי.
1, 2, 4, 6, 8, 10...
1, 3, 5, 7, 9, 11...
רמז לכך בפסוק: טוֹבִים הַשְּׁנַיִם מִן הָאֶחָד ... וְהַחוּט הַמְשֻׁלָּשׁ לֹא בִמְהֵרָה יִנָּתֵק. (קהלת ד, ט-יב)

מעניין לציין שבאנגלית אין זכר לחלוקה לפי מין של הזוגי ושל האי זוגי: המילה האנגלית לאי זוגי, Odd, מקורה, ככל הנראה, בשפה הנורדית, שם היא באה במשמעות של עוד יחידה בנוסף לזוגי, וגם במשמעות של חוד של נשק. הדמיון בין ה Odd האנגלית לעוד העברית הוא ככל הנראה מקרי. המילה האנגלית לזוגי, Even, משמעותה חָלָק או שווה.


מה ההבדל בין השלש לארבע?
ארבע מכיל את כל עשרת המספרים הראשונים
1+2+3+4
הוא העשר בכוח, הוא הטטרקטיס הפיתגוראי. (טטרה ביוונית- ארבע).

אחד שלש ושש הם מספרים משולשיים
אחד ארבע ותשע הם מספרים ריבועיים

שמונה הוא מספר מעוקב