יום רביעי, 13 בנובמבר 2013

מקוריות וחזרה, חדש וישן


לכאורה תשעת המספרים הראשונים הם המקור לכל המספרים האחרים. העשר הוא חזרה על האחד (אם מחברים את ספרותיו) או חיבור של אחד ותשע, שניים ושמונה וכן הלאה. ה-11 הוא חזרה על השניים (כשמחברים את ספרותיו) ה-12 על השלוש (כשמחברים את ספרותיו). העשרים על השניים ועל העשר (כשכופלים אותם זה בזה) וכן הלאה.

אבל כשמתבוננים קצת יותר לעומק מגלים שכבר בתוך תשעת המספרים הראשונים יש חזרה: הארבע הוא פעמיים שניים, והשמונה - שלש פעמים שניים ופעמיים ארבע. זוהי ההופעה הראשונה של המספר המעוקב. השלוש חוזר על עצמו פעמיים בשש ושלש פעמים בתשע. המספרים שאינם חוזרים על עצמם הם אחד, חמש ושבע, שגם בהם, אם לדייק, האחד חוזר על עצמו - חמש פעמים בחמש, ושבע פעמים בשבע. בקיצור, מנקודת המבט של החזרה כל המספרים ישנים, ורק האחד חדש. רמז לכך בבראשית (ב, י) וְנָהָר [אחד]  יֹצֵא מֵעֵדֶן, לְהַשְׁקוֹת אֶת-הַגָּן; וּמִשָּׁם, יִפָּרֵד, וְהָיָה, לְאַרְבָּעָה רָאשִׁים.
מנקודת המבט הזאת נוח לראות את הניגודיות שעליה בנויה מערכת המספרים: כל המספרים הם ריבוי שנובע מאחדות, כל המספרים הם אשליה שנובעת מאמת. דוגמה לאחדות וריבוי במקרא:

וַיְהִי כָל-הָאָרֶץ שָׂפָה אֶחָת וּדְבָרִים אֲחָדִים (בראשית יא, א).
=
ההתעקשות של הפיתגוראים שרק האחד אמת והשאר אשליה מזכירה את המימרה "ראשון זוכה שני בוכה". קל יותר להבין את המעמד המיוחד שיחסו הפיתגוראים לאחד בהנדסה לאחור: כל מספר מתחלק לשני חצאים שווים (זוגי) או לא שווים (מספר אי זוגי) מלבד האחד שאיננו מתחלק, שזה ביוונית אטום. התחלקות המספרים מעידה על חוסר מקוריותם, על היותם תלויים במספר קודם לקיומם. האחד הוא מקורי, כל המספרים תלויים בו, ואין מספר שקודם לו, כי האפס לא היה מוכר להם, לפיתגוראים.

עוד תכונה שחושבים שהיא מיוחדת לאחד היא שאינו משנה שום מספר כשהוא נכפל בו, אבל התכונה הזאת בעצם אינה מיוחדת כל כך אם לוקחים בחשבון מספר שמוסיפים לו אפס נשאר כפי שהיה, ושכל מספר שלם שנכפל במספר שלם נותן מספר שלם כולל העלאה בחזקה. החוק הזה נראה כל כך מובן מאליו שאינני בטוח שמישהו טרח לנסח אותו כחוק, אבל הוא אינו חל על הפעולות המנוגדות לו: חילוק, או הוצאת שורש.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה