יום שלישי, 31 בדצמבר 2013

סתירה בטיעון הבסיסי של הפיתגוראים


א. הפיתגוראים טענו שהכל מספר (כמו שהפילוסוף הראשון, תאלס, טען שהכל מים)
ב. הפיתגוראים טענו שכל המספרים נובעים מן האחד
ג. הפיתגוראים טענו שהאחד אינו מספר (וגם השניים אינו מספר. האחד והשניים הם עקרונות. המספר הראשון, לדבריהם, הוא שלוש).
ד. יוצא שלא הכל מספר. (המספרים אינם חלים על העקרונות שמהם הם נובעים).
=
בצילום: ציור של דבורית בן שאול 

הגדול הקטן והאמצעי



בכל שלושה מספרים טבעיים האמצעי גדול באחד משכנו האחד, וקטן באחד משכנו האחר. מכאן הבינו שהאמצעי ערכו מחצית ממחברת השכנים. פחות שמו לב לכך שאם ניקח חמישיית מספרים טבעיים סמוכים
45678
האמצעי ערכו מחצית מחיבור השכנים
5+7=12
אבל גם מחצית מחיבור הרחוקים
4+8=12

ואם ניקח שביעיית מספרים טבעיים סמוכים כלשהי
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

מחברת השכנים:
13+15=28; 28= 2.14

אבל גם
12+16=28; 28= 2.14

וגם
11+17=28; 28= 2.14

ואם ניקח תשיעיית מספרים טבעיים סמוכים כלשהי ... וכן הלאה
=
שלושת המספרים הראשונים שמהם ניתן ללמוד על היחס שבין האמצעי לבין הגדול ממנו והקטן ממנו הם שלושת המספרים הראשונים, אבל הרחבה של החוק ניתן לראות בתשעת המספרים הראשונים (שעליהם מבוססים כל המספרים האחרים), כאשר האחד הוא הקטן ביותר, תשע הגדול ביותר והחמש אמצעי
123456789
ספר יצירה מחלק את בריאת העולם לשלושה חלקים: "...בשלשה ספרים בספר ספר וספור".
על בסיס הכתוב לעיל ניתן לפרש גם שהאחד והתשע הם הגבול, אזורי הסְפָר
כל התשעה הם כמו דפים שכרוכים בספר
והספור הוא המסע מן הקטן אל הגדול, ומן הגדול אל הקטן, המרוץ מן האחד אל התשע, והשיבה מן התשע אל האחד (בשפת ספר יצירה: "רצוא ושוב").
בדרך כלל אנחנו רגילים לראות את המספרים כמעין עולם מתפשט, שנע מן האחד אל האין סוף, מן הקטן אל הגדול, אבל במספרים ראוי תמיד להסתכל על כל תופעה לפחות משני צדדים, שהרי מול החיבור נברא החיסור, ומול הכפל החילוק, ואחרי שהאנושות הבינה היטב את ארבע הפעולות היסודיות האלה, ונתקלה בפעולת ההעלאה בריבוע, לא רחק היום עד שאיזה רופא שיניים:) גילה את הוצאת השורש. 

ספירה לעומת מדידה




מומחים לתורת המספרים אומרים לנו שכל העניין עם המספרים התחיל, ככל הנראה, מספירה באמצעות אצבעות. הרועה היה נותן לכבשה להיכנס לדיר ומכופף אצבע, ואחר כך היה נותן לעוד כבשה להיכנס ומכופף עוד אצבע. הכבשה הייתה ממשית והאצבע הייתה ממשית. זה היה בתקופה שלפני ההפשטה, שלפני היות המספר, והשיטה הזאת הייתה מצוינת לעדרים של עד עשרה כבשים. לעדרים גדולים יותר ניתן היה להשתמש בחלוקי נחל.
אבל באותה מידה תורת המספרים הייתה יכולה להתחיל לא מספירה אלא ממדידה. האדם הקדמון יכול היה למדוד מרחק באמצעות צעדים. אפילו בימינו מודדים אורכים באופן גס באמצעות "שיבר", שהוא המרחק המרבי בין קצה האצבע הקטנה לבין הבוהן כשהאצבעות פרושות, וגודלו כגודל מרצפת ("בלטה"), כעשרים ס"מ.
מילה נרדפת לרגל או לצעד היא המילה פעם, ואנחנו משתמשים בה בצורה מופשטת כאשר אנחנו מנסים לענות על השאלה כמה פעמים חוזרת יחידת המידה שבחרנו. כאשר אנחנו מודדים קיר אנחנו סופרים כמה בלטות יש לאורכו. ההפשטה היא פעולה שהמחשבה מסוגלת לעשות באמצעות חיסור ממדים: היא יכולה לקלף מן הקיר את החומר, או את הנפח, או את השטח, ולהתייחס רק אל הקו שבין הקיר לתקרה, או רק אל הנקודה שבה נפגשים הקווים של שני קירות סמוכים.
גם מספרים הם מושג מופשט כל עוד לא עושים מהם פסל. כאשר כותבים מספר על דף יש לו ייצוג חומרי, אבל כאשר עושים פעולת כפל במחשבה אין למספרים צבע, או אורך או רוחב או גובה.

אם אורך הקיר הוא בדיוק 15 בלטות (שלושה מטר) המדידה היא באמצעות מספר שלם. אם אורך הקיר הוא לא בדיוק 15 בלטות אנחנו נאלצים להכניס לפעולה את השברים.
מילה נרדפת למילה מדידה היא הנדסה, מילה שמקורה כנראה פרסי, והיא מופיעה לראשונה בתלמוד (מסכת בבא בתרא, דף פט, עמוד ב). התרגום המקובל למילה גאומטריה הוא הנדסה. 


יום שני, 30 בדצמבר 2013

עשר כשם של חברה מסחרית


חדשות עשר הוא שמה של החברה שמפיקה את חדשות ערוץ 10, שהוא ערוץ של טלוויזיה מסחרית. בשם חדשות עשר וויתרו על המילה ערוץ, כך שעשר איבד קצת ממשמעותו המספרית.
לפי ההיגיון היו צריכים לקרוא לערוץ עשר הערוץ השלישי, כי קדמו לו ערוץ 1 וערוץ 2, אבל מי שבחר בו דילג על כמה מספרים כדי להעניק, ככל הנראה, לערוץ שלו הקשר של מצוינות, של ציון עשר, שהוא הציון הגבוה ביותר שיכול לקבל תלמיד בבית ספר. השימוש במספרים כשם לערוצי טלוויזיה נפוץ בעולם, ונדמה שבארץ מחקים אותו בתקווה להצליח כמותם.

יום ראשון, 29 בדצמבר 2013

מספרים בכמה מטבעות לשון



אחד במאי
אני ואפסי עוד
אפס קצהו
ארבע העונות 
ארבע הקושיות
ארבעה כיווני אוויר
ארבעה נהרות בגן עדן
ארבעים שנה במדבר
בארבע עיניים
הולכי על ארבע
השילוש הקדוש
מספר עגול
מתי מספר
עַל אַחַת כַּמָּה וְכַמָּה
שבעה כוכבי לכת
שבעת החטאים
שבעת פלאי תבל
שורה תחתונה
שלשת הקופים
שני צדדים למטבע
שנים עשר המזלות
תשעה ירחי לידה
עשירי למניין
בטל בשישים

כמה סוגי מספרים של הפיתגוראים



לסדרת המספרים הזוגיים באופן זוגי , שכל איבר בה גדול פי שניים מקודמו
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
יש תכונה מיוחדת לפיה סכום המספרים שלפני מספר מסוים שווה לאותו מספר פחות אחד

1+2= 4-1
1+2+4+8= 16-1
ותכונה נוספת:
1.16=16
2.8=16
4.4=16
=
לסדרת המספרים האי זוגיים באופן זוגי
2, 6, 10, 14, 18, 22

שאותה אנחנו יוצרים באמצעות הכפלה בשניים של טור המספרים האי- זוגי:
1,3,5,7,9,11
יש תכונה מיוחדת:
2+10=6.2
6+14=10.2

מקור:

Thomas Taylor's Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans 

***
להלן הערה של
Thomas L. Heath
בספרו:
A Manual of Greek Mathematics


ההבחנה של הפיתגוראים בין סוגי הסוגים של הזוגיים והאי זוגיים (שמופיעה גם אצל אפלטון) לא העסיקה את אוקלידס כי היא איננה מוחלטת,  שהרי יש מספרים ששייכים ליותר מסוג אחד, כמו לדוגמה המספר עשרים וארבע ששייך גם לזוגיים (שזה מובן מאליו) וגם לאי זוגיים, כי הוא המכפלה של האי זוגי שלוש עם הזוגי שמונה.

חוני המעגל



חוני המעגל, בן המאה הראשונה לספירה, הכיר ככל הנראה את הרעיון על "האחד שקדם לאחד", שאותו פגשנו כמה מאות שנים קודם לכן אצל הפיתגוראים. כאשר חג סביבו עיגול, כפי שמסופר בתלמוד (מסכת תענית כג, א), הזדהה עם מרכז העיגול שהוא "האחד שקדם לאחד", המניע הבלתי מונע, שבלעדיו אין קיום לעיגול, שעליו, כעל כל קו, פרושים כל המספרים האפשריים. אצל היוונים נקרא "האחד שקדם לאחד" מונאדה, או אלוהים, והמעגל שימש כסמל למונאדה וכסמל לשלמות, כמו גם העשר, שהוא סכום הספרות של שמש בגימטריה מצומצמת  (שי"ן= 3, מ"ם= 4). ריבוע הקסם של השמש מורכב משלושים ושש משבצות שהן שש של שש, ובמילה שמש המ"ם מוקפת בשי"ן מימין ושי"ן משמאל שיוצרות את המילה שש. גם המילה שלם בגימטריה ערכה 10 ((שי"ן= 3, למ"ד=3 ו מ"ם= 4).
האפס, שאנחנו מכירים כעיגול, הוא המצאה הודית מן המאה החמישית לספירה.אצלם הוא הופיע בצורת נקודה שנקראה בינדו, הנקודה שממנה החלה, לפי המיתולוגיה שלהם, בריאת העולם. 
גם מורי המנוח, ד"ר זאב גולדמן, סבר שהעיגול, המופיע לעתים קרובות כמוטיב באורנמנטיקה היהודית הקדומה, משמש ביטוי ויזואלי לאינסופיות האל ולאחדותו.
נדמה שגם השעון, בצורתו העגולה, הקלאסית, משלב את רעיון הנצח (אינסופיות הזמן) עם שנים עשרה המספרים הראשונים שעליהם מצביע המחוג כמעין רדיוס.
אם לוקחים את הביטוי מספר עגול ברצינות משתמע שהשלם עגול. (שעה עגולה היא שעה שלמה, ללא דקות). 
בצילום: עיגולים בשער הרחמים

מצגת צילומי מספרים



מדפדפים באמצעות החץ שמימין לכל תמונה

היכן התחבא האפס במשך למעלה מאלף שנים



חכמי המספרים הקדמונים בחצי האלף הראשון שלפני ספירת הנוצרים לא הכירו את האפס. גם מחברי התנ"ך וספר יצירה לא הכירו את האפס.  לקח לאנושות עוד כאלף שנים עד שהאפס נכנס לשימוש אופרטיבי. לנו האפס כל כך מובן מאליו שקשה לנו להעלות על הדעת איך הסתדרו בלעדיו, אבל ההמחשה לכך בספרות הרומיות
X=10
C=100
M =1000
שמסתדרות יפה מאד בלי אות מיוחדת לאפס
ובספרות העבריות
י=10
ק=100
א=1000
ההסטוריונים של המתמטיקה מתחילים מזה שיש לאדם עשר אצבעות ומהן באו לנו לא רק השיטה העשרונית, אלא גם המילה דיגיטאלי, שמקורה מן המילה היוונית לאצבע. אני לא מתפלא שלא הכירו את האפס לאורך תקופה כל כך ארוכה, הוא התחבא היטב בין האצבעות, במקום כל כך גלוי לעין שאף אחד לא טרח למצוא אותו שם.
בתמונה: לוגו של חברת

White Glove  

יום שבת, 28 בדצמבר 2013

מספרים באמנות רחוב


בצילום פרט מתוך ציור על ארון סעף של בזק באזור התעשייה בתלפיות שבירושלים. 
שם הציירת: אולגה 
טל. 050-5596827

פיתגורס והיהודים



 בול מועדים לשמחה 1960 בעיצובו של אשר קלדרון, שבו נראה דוד המלך מנגן על כינור בעל עשרה מיתרים. כיום יש לנו סולם של שבעה צלילים: דו, רה, מי, פה, סול, לה, סי, אבל לעתיד לבוא, לפי הקבלה, אחרי התיקון, יהיה לנו סולם של עשרה צלילים, שהם ביטוי לעשר הספירות.




פיתגורס גילה את הקשר שבין מוסיקה לבין
מספרים באמצעות ניסויים שערך עם מיתרים. השורש של המילה מיתר הוא יתר, שהוא גם שמה של הצלע השלישית במשולש ישר הזווית שהוא המשולש שמופיע גם במשפט פיתגורס. הוא נקרא יתר בגלל ששתי הצלעות האחרות יוצרות מעין קשת, והיתר, שהוא מיתר, הוא מה שמאפשר לקַשַת לירות בה. על פי מנשה בן ישראל [1]
 פיתגורס קיבל את הידע שלו מן היהודים, ואפילו היה יהודי בעצמו. רמז לידע הזה של היהודים, שממנו אולי שאב כאמור פיתגורס, יש בשמות של כמה מכלי הנגינה המקראיים: שלישים, שמינית ועשור. יש חוקרים שסבורים ששמות כלי נגינה אלה באו להם ממספר המיתרים שלהם. על כל פנים בשתי התרבויות, היוונית והעברית אנחנו רואים חיבור של מוסיקה מספר ומיתר. עדות נוספת על עומק הידע הסודי על הקשר שבין מוסיקה למספר שהיה לעברים במאות שלפנה"ס נוכל לראות בספר יהושע (ו, ד-ה):
"ושבעה כהנים ישׂאו שבעה שופרות היובלים לפני הארון וביום השביעי תסבו את העיר שבע
פעמים והכהנים יתקעו בשופרות. והיה במשך בקרן היובל כשמעכם את קול השופר יריעו כל
העם תרועה גדולה ונפלה חומת העיר תחתיה ועלו העם איש נגדו".
=
במסכת יומא (פרק א דף כ,ב ) מובע רעיון דומה לרעיון של פיתגורס על המוזיקה של הכוכבים: "דאמר רבי לוי מפני מה אין קולו של אדם נשמע ביום כדרך שנשמע בלילה מפני גלגל חמה שמנסר ברקיע כחרש המנסר בארזים... תנו רבנן: אלמלא גלגל חמה נשמע קול המונה של רומי ואלמלא קול המונה של רומי נשמע קול גלגל חמה. תנו רבנן: שלש קולות הולכין מסוף העולם ועד סופו ואלו הן קול גלגל חמה וקול המונה של רומי וקול נשמה בשעה שיוצאה מן הגוף וי"א אף לידה".
=
האחד קיבל אצל הפיתגוראים משמעות של אור, של טוב, של זכר. משמעויות אלה באות לידי ביטוי במנהג היהודי של הענקת הבכורה לבן הראשון (ולא לבת הראשונה). אפילו המילה בכור היא משרש ב.כ.ר שמכיל את אותן האותיות כמו השורש ב.ר.ך, שממנו באה המילה ברכה.  

=
[1]
בספר 'נשמת חיים' מאת ר' מנשה בן
ישראל כתוב בפרק כ"א [מאמר רביעי עמוד 248]: "אמונת הגלגול... מתייחס[ת] לפיתאגורס
היות שהוא חידשה לאחר שנתעלמה ונסתרה, וגם הוא [פיתאגורס], לדעת אליכסנדר
פוליסטור, למדה ושמעה מיחזקאל הנביא אשר היה רבו, כי החכמה המפוארת שהייתה לו
והסודות הנפלאות אשר בין צורותיו וציוריו
... מאין באו לו... אלא ודאי שרבו נביא ה׳ אשר קבל מסר לתלמידו ... אשר אמברוסימו,
חכם מחכמי אומות העולם, באגרת שליח׳
לאיריניאו גוזר ומקיים היות הסכמה כוללת היותו עברי• וקלימינטי אליכסנדרינו בספרו החמישי מאמת שנימול היה • וכך הוא האמת כי יהודי היה וכל מה שחבר גנב ולקח מתורתנו".

=
אני חושד גם שהפרדוכס של זנון היה במקורו יהודי. אמנם אינני יודע יוונית כך שאין לי מושג אם יש קשר צלילי בין המילים "אכילס" ו"צב", אבל בעברית יש, כמדומני, קשר ייחודי בין המילים המקראיות "צבי" ו"צב", כאשר הצבי הוא סמל המהירות והצב סמל האיטיות. 



יום שישי, 27 בדצמבר 2013

מספרים כנקודות על מעגל



אנחנו די רגילים לדמות את טור המספרים למעין רכבת שהקטר שלה הוא המספר אחד, שנמצא במקום הראשון משמאל, והקרונות שלה- המספרים שאחריו- לימינו. בדימוי הזה ככל שמספר גדול יותר הוא רחוק יותר מהאפס. אבל ניתן לדמות את המספרים גם כנקודות על מעגל, ואז המרחק של כל נקודה מן האפס הוא אותו מרחק. בדימוי של מעגל שכזה יש נקודה במרכז המעגל שאיננה נספרת. הנקודה הזאת מייצגת את האפס, שנקרא גם האחד שלפני האחד. בנוסף ניתן לראות שהשעון הוא (מעגל) אחד שמתחלק ל-12 חלקים, שכל אחד מהם נקרא שעה, ואחד מהם נקרא אחד, והוא האחד שנספר.


בסטיקר שבתמונה המרחק של כל יום מימי השבוע מן השבת הוא אותו מרחק. החושך בעיניים שיש למי שלפניו עוד שבוע מפרך הוא תוצאה של דימוי המספרים לרכבת, וזה מה שקורה גם כשאומרים ביום רביעי שהשבוע בירידה.  

יום חמישי, 26 בדצמבר 2013

התפתחות המספרים מן העשר אל האטום

   


בדרך כלל מנסים לתאר את התפתחות המספרים מכיוון האחד אל העשר, אולי בהשפעת הטטרקטיס הפיתגוראי, או בהשפעת עץ החיים של הקבלה. אבל במספרים ניתן לראות כל תופעה גם מן ההתחלה לסוף וגם מן הסוף להתחלה. נדמה לי שהמראה הזה הוא שהניע את דמוקריטוס (370- 460 לפנה"ס) להמציא את מושג האטום (א ביוונית שאינו; טומוס - נחתך),

היחידה שאיננה ניתנת לחלוקה. כי אם נניח שעשר הוא כל המספרים, הוא מתחלק לעשר יחידות, כאשר התשיעית מתחלקת בשלוש, השמינית - בארבע ובשניים... ואילו האחד, כל עוד הוא שלם, אינו מתחלק באף אחד. במלים אחרות המסע של המספרים הוא מן השניים, אבי החלוקה, אל האחד, אבי האחדות הבלתי מתחלקת.

כל מספר הוא מרכז של מספר אחר



כל מספר הוא מרכז של מספר אחר שגדול ממנו פי שניים פחות אחד. לדוגמה שבע הוא המרכז של שלוש עשרה
7.2=14
14-1=13
בעץ המספרים רואים באופן בברור את השבע במרכז כאשר לימינו ששה מספרים, ולשמאלו ששה מספרים, וביחד אתו יש בשורה השביעית מתחילת העץ, מן האחד, שלושה עשר איברים, או שלושה עשר מקומות תפוסים, הנה כך:
1234567654321
אם נתבונן באותו אופן בשלוש נראה שהוא משמש כמרכזו של החמש
3.2=6; 6-1=5
אם נתבונן באותו אופן בשניים נראה שהוא משמש כמרכזו של השלוש
2.2=4; 4-1=3
והכי מעניין לראות שהאחד הוא מרכזו של השניים
1.2=2; 2-1=1

זה כאילו שבספרה הרומית II יש במרכז, בין I ל I משהו בלתי נראה, עוברי, שהוא אחד.
***
שְׂפַת אֵלִים חֲרִישִׁית יֵשׁ, לְשׁוֹן חֲשָׁאִים,
לֹא-קוֹל וְלֹא הֲבָרָה לָהּ אַךְ גַּוְנֵי גְוָנִים;
וּקְסָמִים לָהּ וּתְמוּנוֹת הוֹד וּצְבָא חֶזְיוֹנוֹת...
הֲלֹא הִיא לְשׁוֹן הַמַּרְאוֹת
(הברכה, חיים נחמן ביאליק)

עשר ספירות בלימה צפייתן כמראה הבזק 
(ספר יצירה פרק א משנה ה)

המספרים מדברים אלינו בשפה של תבניות, שניתן לקרוא לה, בהשאלה מחיים נחמן ביאליק, בשם לשון המראות. מראה שכזה, לדוגמה, הוא שהאחד נמצא במרכזו (M) של כל מספר אי זוגי, 2X+1.
וכך:
3=111= 1M1
5=11111=11M11
7= 1111111=111M111
ומראה נוסף הוא שהמרכז הזה (M) הוא השניים שבשלוש, כי הוא השני מימין, והוא גם השני משמאל
או
3=121=4               M=2
ובאי זוגיים הבאים:
5=11311=7           M=3
7=1114111=10     M=4
9=111151111=13  M=5

ובלי משים תרגמנו את טור האי זוגיים לזרם של ה 147

יום רביעי, 25 בדצמבר 2013

על ההבדל בין מורים לחשבון לבין מורים למחשבה



כשמספר מתחלק בעצמו הוא נותן תמיד אחד בגלל שעצמו מורכב מאחדים. שמו של המספר מעיד על כמות האחדים שמהווים את עצמו. לדוגמה, 15 מורכב מ 15 אחדים ואם מחלקים אותו ל-15:
15:15=1

כל מספר מתחלק בעצמו ומתחלק באחד. כשהוא מתחלק בעצמו הוא נותן אחד, וכשהוא מתחלק באחד הוא נותן את עצמו. מבחינה זו אלה שתי פעולות מנוגדות. אלא ש'מתחלק באחד' הוא צירוף מילים מכשיל. אי אפשר לחלק משהו לפחות משני חלקים. זה מזכיר שבר מדומה. בכל אופן, המורים לחשבון מלמדים את תלמידיהם על הפעולה הזאת של חלוקת עצמו באחד בלי לתהות עליה, וזה ההבדל בין מורים לחשבון לבין מורים למחשבה. 
***

בשיעורי חשבון מלמדים אותנו שמספר אי זוגי איננו מתחלק למספרים שלמים מלבד כשהוא מתחלק באחד או כשהוא מתחלק בעצמו, אבל חמש מתחלק  יפה מאד לשניים ולשלוש או לארבע ולאחד. זה מדגים יפה את ההבדל בין תורת המספרים של יוסף ספרא לבין אותה חשיבה מורגלת ומתורגלת שעליה מדבר הנביא ישעיהו: וַתְּהִי יִרְאָתָם אֹתִי מִצְוַת אֲנָשִׁים מְלֻמָּדָה (ישעיהו כט יג). שיעורי החשבון בבית הספר נועדו לתכלית מעשית, לאפשר ללומד לבדוק אם בפלט המחשב של חשבון הבנק שלו יש מספרים שליליים וכיוצא באלה, ואילו תורת המספרים נועדה לאפשר למוחו של הלומד להתעמל.  

יום שני, 23 בדצמבר 2013

יחס הזהב בבולי העולם



בול חתך הזהב, שווייץ, 1987




יחס הזהב ביצירה של האמן האיטלקי פיירו דה לה פרנצסקה (1412-1492), סן מרינו, 1992




יחס הזהב בבול של מקאו-סין, 2007





יחס הזהב בבול של ליכטנשטיין, 2013

הקושי בהגדרת מושג המספר


למילונאים אין בעיה בהגדרת מושג המספר. אבן שושן, לדוגמה, מגדיר בקלילות את המספר כ"ערך חשבוני המבטא כמות, סכום של עצמים, של תופעות וכדומה. המספרים נרשמים בכתב בספרות 1, 2, 3, וכו'". לעומת המילונאים, ככל הידוע לי, אין הסכמה בין המתמטיקאים ובין הפילוסופים לגבי הגדרת מושג המספר. אני לא מתפלא על הקושי הזה, שהרי מספר יכול להיות מספר אפילו אם אין לו צורה של מספר, כמו בשעון הנקודות שבחזית תחנת האוטובוסים המרכזית בירושלים.
לודוויג ויטגנשטיין בספרו "חקירות פילוסופיות" מתייחס לבעיה זו כדוגמה לבעייתיות של הגדרות  באשר הן (תרגום שלי):
"מדוע אנחנו קוראים למשהו 'מספר'? ובכן, אולי בגלל שיש לו קשר ישיר עם כמה דברים שעד כה נקראו מספר ... ואנו מרחיבים את מושג המספר שלנו, כמו שאנחנו מפתלים חוטים בפקעת, והחוזק של החוט אינו נובע מן העובדה שסיב אחד עובר לכל אורכו, אלא מן הכיסוי ההדדי של סיבים רבים... המושג של מספר מוגדר כסכום ההגיוני של המושגים הפרטיים הבאים, שקשורים זה בזה: מספרים מונים, מספרים רציונליים, מספרים אמיתיים וכן הלאה. ממש כמו שהמושג של משחק הוא הסיכום ההגיוני של סדרה של תת מושגים"...

במקום אחר באותו ספר ויטגנשטיין טוען שאם תנסה ללמד את המושג 'שנים'  באמצעות הרמת שני אגוזים התלמיד עלול לחשוב ששנים זה הצבע של האגוזים, אבל אם תרים את שני האגוזים ותגיד את המילה 'שנים' במהלך לימוד שפה - התלמיד יבין למה התכוונת בגלל ההקשר.  
***
תאלס הגדיר מספר כאוסף של אחדים, בהתאם למה שלמד ממוריו במצרים, אבל פיתגורס הגדיר את המספר כתוצאה של האחד, שהוא כעין זרע שמעניק למספרים אנרגיה. מקור:

Thomas Taylor's Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans p. 244
***
אם מתייחסים אל שני חלקיו של הפסוק מוֹנֶה מִסְפָּר לַכּוֹכָבִים לְכֻלָּם שֵׁמוֹת יִקְרָא (תהלים קמז, ד) כאל תקבולת מקראית מספר הוא שם, וספירה היא הפעולה המקבילה לקריאה בשם. כמו שיש התאמה חד חד ערכית בין שמו של כוכב לבין הכוכב הגשמי, כך יש התאמה חד חד ערכית בין כמות הכוכבים לבין מספרם. כלומר: מספר הוא שם של כמות. מספר אחד הוא שם הכמות של כוכב בודד. מספר שניים של צמד כוכבים. מספר אפס של אף כוכב.
ההגדרה של אוקלידס, שמספר הוא ריבוי שמורכב מאחדים איננה עונה על השאלה מהו מספר אלא על השאלה ממה מורכב מספר. בנוסף, הפילוסוף גוטלוב פרגה טען, בראשית המאה העשרים, שהגדרתו של אוקלידס איננה תואמת את המספרים 1 ו-0. הפילוסוף אדמונד הוסרל טען כנגדו שאפס ואחד אינם מספרים. ואכן, זכותם של האפס והאחד להיקרא מספרים שנויה במחלוקת. היוונים הפרידו בין תורת המספרים של הפילוסופים לבין תורת החשבונאות של הסוחרים בשוק. בתורת המספרים האחד אינו ניתן לחלוקה, כמו שהנקודה הגאומטרית היא, לשיטתו של אוקלידס, "מה שאין לו חלקים", אבל לא הפריע ליוונים הקדמונים שתורת החשבונאות שברה את האחד לשברים. 

יום שבת, 21 בדצמבר 2013

סימטרייה וסדר בעץ המספרים


בעץ המספרים מופיעים לפי הסדר המספרים הטבעיים במרכז כל שורה, כאשר לצד כל מספר מופיעים המספרים הקטנים ממנו באחד, לצדם המספרים הקטנים מהם באחד... עד האחד
סכום המספרים בכל שורה הוא הרבוע של המספר שבמרכז
סכום האיברים בכל שורה יוצר את טור המספרים האי זוגיים: בשורה הראשונה האחד, בשנייה השלוש, בשלישית החמש וכן הלאה

  
1
121
12321
1234321
123454321
12345654321
1234567654321
123456787654321
12345678987654321


וכן הלאה
עץ המספרים מופיע בספר של ימבליכוס על ניקומאכוס תחת הכותרת מסלול מעגלי מהדומה לדומה, והוא תוצאה של הכפלת המספרים שמורכבים מאחדים בעצמם:
11x11= 121
111x111= 12321
1111x1111 = 1234321

מקור:

Thomas Taylor's Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans p. 244


בראש עץ המספרים הפיתגוראי שמופיע אצל ימבליכוס ניצבת לה המונאדה, האחד, שמכונה אצלם גם בשם אלוהים. לא משנה כמה שלבים מונים בסולם כי כל מספר מוצא את מקומו על עץ זה. יש אומרים שפיתגורס למד מהיהודים בני זמנו, ולפיכך יתכן שהפסוק שהשפיע עליו היה זה: 
וַיַּחֲלֹם וְהִנֵּה סֻלָּם מֻצָּב אַרְצָה וְרֹאשׁוֹ מַגִּיעַ הַשָּׁמָיְמָה, וְהִנֵּה מַלְאֲכֵי אֱלֹהִים עֹלִים וְיֹרְדִים בּוֹ. וְהִנֵּה ה' נִצָּב עָלָיו

(בראשית כח יב-יג). המילה ניצב אולי גם הזכירה לפיתגורס את הצלעות במשולש ישר זווית שמהן בא לו משפט פיתגורס.

יום שישי, 20 בדצמבר 2013

התחלה אמצע וסוף




תשע הוא האחרון ביחידות,
תשעים ותשע האחרון בעשרות,
תשע מאות תשעים ותשע האחרון במאות
וכן הלאה.
אחד הוא הראשון ביחידות,
אחד עשרה הראשון בעשרות,
מאה ואחד הראשון במאות וכן הלאה.
חמש הוא האמצע. יש ארבע יחידות לצדו האחד וארבע לצדו השני. הוא גם האמצע שבין ארבע לשש (שחיבורן נותן עשר), שבין שלש לשבע (שחיבורן נותן עשר), שבין שתים לשמונה (שחיבורן נותן עשר),  שבין אחד לתשע (שחיבורן נותן עשר).

החמש אמצעי בין האחת לתשע, בין הספרה הראשונה לאחרונה, הוא התולדה של החיבור שבין ההתחלה לבין הסוף, היורש של  מחצית הגנים של ההתחלה ושל מחצית הגנים של הסוף, ולפיכך הוא סוף ההתחלה והוא התחלת הסוף.  
היחידות, שכל שאר המספרים נשענים עליהן, מחולקות בעצם לשלש שלשות:
123
456
789
שבכל אחת מהן יש ראשון, יש אמצעי ויש אחרון.
הארבע פותח את השלשה השנייה, כמו שהאחד פותח את השלשה הראשונה, והשבע פותח את השלשה השלישית כמותם.
השנים אמצעי בשלשה הראשונה כמו שהחמש אמצעי בשלשה השנייה, כמו שהשמונה אמצעי בשלשה השלישית.
השלוש סוגר את השלשה הראשונה כמו שהתשע סוגר את היחידות, וכמו שהשש סוגר את השלשה השנייה.
כשקוראים את השלשות במאונך מקבלים את הזרמים:
1   2   3
4   5   6
7   8   9
שממשיכים כלפי מטה ככל שנרצה:
10 11 12
13 14 15
16 17 18
סכום הספרות של השלשה הרביעית מחזיר אותנו אל השלשה הראשונה:
10=1
11=2
12=3
סכום הספרות של השלשה החמישית מחזיר אותנו אל השלשה השנייה:
13=4
14=5
15=6
וכן הלאה
**
האחד והשלוש מנוגדים: זה מתחיל וזה גומר, זה פותח וזה סוגר. גם האחד והשניים מנוגדים: זה שלם ומאחד וזה בנוי מחלקים ומפלג.
כל אחת משלש השלשות שבעשר מסתיימת בסוג של שלש

(369), שמשמש כמעין חרוז בשיר, שמעניק לשלשה מראית של סדר, דיוק, ולמי שיצר אותה איזה נופך של וירטואוזיות.

בול משפט פיתגורס



בול יווני זה, שיצא לאור בשנת 1955, ממחיש יפה את משפט פיתגורס, כי אם סופרים את מספרי הריבועים רואים שיש ארבע שורות של ארבעה ריבועים (סך הכל ששה עשר, שהם ארבע בריבוע) בריבוע אחד, שלש שורות של שלושה ריבועים (סך הכל תשעה, שהם שלוש בריבוע), וחמש שורות של חמישה ריבועים (סך הכל עשרים וחמישה, שהם חמש בריבוע), וכל זה על מנת להראות שסכום הריבועים שעל הצלעות של המשולש הלבן שבין הריבועים שווה לסכום הריבועים שעל היתר.
משפט פיתגורס מדגים בצורה יוצאת מן הכלל עד כמה ערבבו חסידי האסכולה הפיתגוראית את ההתבוננות במספרים עם גאומטריה. העובדה שיש שני מספרים בריבוע שחיבורם יוצר מספר שלישי בריבוע מעוררת השתאות כשלעצמה, וה"התלבשות" המדויקת של המראה הזה על תופעה בגאומטריה מכפילה את ההשתאות. אותי מפליא לא פחות שהעשר מורכב מן הריבוע של אחד עם הריבוע של השלוש, אבל אני לא הולך להוציא על זה פטנט.
=
כולנו מכירים את החשיבות של משפט פיתגורס  בגאומטריה, אבל יש לו חשיבות גם בתורת המספרים[1]
32+42=52
מראה שהחמש נוצר מהשלוש (האי זוגי) ומהארבע (הזוגי) שלפניו, כמו שהשלוש נוצר מחיבור של אחד (אי זוגי) עם שניים (זוגי) שלפניו. כדאי רק לשים לב שבשביל "לברוא" את החמש לא צריך את משפט פיתגורס
 שהרי
12+22=5
[1] מקור:

Pythagoras and the Pythagoreans: A Brief History  By Charles H. Kahn p.33

יום חמישי, 19 בדצמבר 2013

שמות עשרת המספרים הראשונים אצל הפיתגוראים




אחד:
מרכבה - הכינוי 'מרכבה' מעניין במיוחד על רקע חשיבות מושג המרכבה בקבלה, והוא מעורר שאלות בדבר היזון הדדי בין תורת המספרים היוונית והעברית בחצי האלף הראשון לפני הספירה. עניין זה מתווסף להופעה בשתי התרבויות של התגלית שמוסיקה מבוססת על מספרים. פיתגורס גילה כי הסולם המוזיקלי הנו מספר, ובתנ"ך נרמזת אותה תובנה בשמות של כלי הנגינה: שלישים, שמינית ונבל עשור.

מונאדה - כי האחד נשאר תמיד באותו מצב שהרי אין לו חלק בריבוי.
אפולו - בין היתר בגלל משמעות שמו ביוונית א = איננו; פולו = הרבה. אפולו הוא אל האור, והוא מזוהה עם הטוב.

* הערה: הזיהוי של המספר אחד עם אור ועם טוב מופיע גם בתנ"ך, כי האור נברא ביום הראשון (האחד) ובפסוק הרביעי כתוב  וַיַּרְא אֱלֹהִים אֶת-הָאוֹר, כִּי-טוֹב. 

זכר ונקבה: בגלל שכאשר מוסיפים אותו למספר זוגי הוא הופך אותו לאי זוגי ולהפך

* הערה: האני הוא אחד (אינדיבידואום, אינדיבידואליסט, משמעותו בלטינית שאינו ניתן לחלוקה), ויכולים לומר אותו גם הזכר וגם הנקבה, וזאת לעומת את/אתה, הוא/היא. 

אלוהים - בגלל שהוא ההתחלה והסוף של כל דבר, אבל לו עצמו אין התחלה ואין סוף
זרע, בורא - בגלל שבלעדיו אף מספר לא יכול להתקיים
פרותאוס - בגלל שהוא יכול לשנות את צורתו כמו האל פרותאוס
פולינומוס - בגלל שיש לו שמות רבים

שניים:
דואד- בגלל שהוא מתחלק
תעוזה - בגלל שהעז להפריד את עצמו מן האחד האלוהי [1]
אמא - בגלל שהוא המספר הזוגי הראשון. לכן הוא גם נקרא על שם של אלילות כמו איזיס

שלוש:
קדושתם של השלוש ושל המשולש שמסמל אותו נובעת מהיות השלוש חיבור ותוצר של האחד והשניים. השלוש מורכב משלושה אחדים שנמצאים בשיווי משקל, בהבדל מן השניים שבו האחדים נמצאים במצב של מאבק.

ארבע:
נקרא צדק בגלל היותו המספר הראשון שהוא מכפלת שווים. משמעות זו של המספר ארבע חלה כמובן  גם על הריבוע ומכאן חשיבותם של המספרים בריבוע לפיתגוראים.

בגלל שחיבור מרכיביו מכיל את כל עשר הספרות הוא נחשב למספר המושלם ביותר, שממנו נובעים כל הדברים. ארבע הוא גם אמצע השבוע, המספר שבין אחד לשבע. פלוטרכוס הסביר שהארבע נקרא העולם כאשר הוא מורכב מארבעת הזוגיים הראשונים ביחד עם ארבעת האי-זוגיים הראשונים
1+3+5+7+2+4+6+8=36

חמש:
סמל לטבע כי כשכופלים חמש בחמש מקבלים חמש, כמו שכשזורעים חיטה מקבלים זרעי חיטה. מספרים אחרים שמוכפלים בעצמם מייצרים מספרים אחרים.
סמל לנישואין כי הוא מורכב מהזוגי הראשון (2) והפרדי הראשון (3)
סמל לשיווי משקל כי הוא מחלק את העשר הקדוש לשני חלקיים שווים.
סמל לניצחון הרוח על החומר כי ארבע מסמל את ארבעת היסודות, והחמש נוצר מן האלמנט החמישי, הרוחני (האתר). יסוד האדמה סמלו הדרקון. במיתולוגיה היוונית גיבורים מצווים לשסף את הדרקון באמצעות החרב של האחד.   

שש:
סמל לשלמות כי הוא שווה לסכום מרכיביו:
3 +2 + 1 = 6

שבע:
אתנה או בתולה - בגלל שהשבע איננו מורכב (נולד) מחיבור או מכפל של זוגי (נקבה) באי זוגי (זכר) אלא קפץ היישר מראשו של האל, האחד.

שמונה:
קדושת השמונה נבעה בין היתר מהיותו הזוגי שמורכב מהזוגיים היחיד מתחת לעשר, כי שמונה מתחלק לשתי רביעיות, שכל אחת מהן מתחלקת לשני זוגות, שכל אחד מהם מתחלק לשני אחדים, מה שמחזיר את השמונה למונאדה.


תשע:
מסמל כישלון, כי חסר לו אחד בשביל להגיע לעשר הקדוש.
מסמל אין סופיות, כי מעבר לו אין דבר מלבד העשר שהוא אינסופי.
מסמל גבול, כי כל הספרות כלולות בו.

עשר:
המספר המושלם שמכיל את כל היחסים שבין המספרים.

*

כתבה זו מתבססת על קטעים מתוך:

The Secret Teachings Of All Ages, by Manly P. Hall, 1928
פרק בשם: "המספרים של פיתגורס - פרפרזה על כתביהם של תיאון מסמירנה, ניקומכוס, פרוקלוס, פורפירי, פלוטרכוס, קלמנט מאלכסנדריה, אריסטו, וברי סמכא קדומים אחרים".
[1] ציטוט מ:
Numbers, by W. Wynn Westcott