הקושי בהגדרת מושג המספר

למילונאים אין בעיה בהגדרת מושג המספר. אבן שושן, לדוגמה, מגדיר בקלילות את המספר כ"ערך חשבוני המבטא כמות, סכום של עצמים, של תופעות וכדומה. המספרים נרשמים בכתב בספרות 1, 2, 3, וכו'". לעומת המילונאים, ככל הידוע לי, אין הסכמה בין המתמטיקאים ובין הפילוסופים לגבי הגדרת מושג המספר. אני לא מתפלא על הקושי הזה, שהרי מספר יכול להיות מספר אפילו אם אין לו צורה של מספר, כמו בשעון הנקודות שבחזית תחנת האוטובוסים המרכזית בירושלים.

לודוויג ויטגנשטיין בספרו "חקירות פילוסופיות" מתייחס לבעיה זו כדוגמה לבעייתיות של הגדרות  באשר הן (תרגום שלי):

"מדוע אנחנו קוראים למשהו 'מספר'? ובכן, אולי בגלל שיש לו קשר ישיר עם כמה דברים שעד כה נקראו מספר ... ואנו מרחיבים את מושג המספר שלנו, כמו שאנחנו מפתלים חוטים בפקעת, והחוזק של החוט אינו נובע מן העובדה שסיב אחד עובר לכל אורכו, אלא מן הכיסוי ההדדי של סיבים רבים... המושג של מספר מוגדר כסכום ההגיוני של המושגים הפרטיים הבאים, שקשורים זה בזה: מספרים מונים, מספרים רציונליים, מספרים אמיתיים וכן הלאה. ממש כמו שהמושג של משחק הוא הסיכום ההגיוני של סדרה של תת מושגים"...

במקום אחר באותו ספר ויטגנשטיין טוען שאם תנסה ללמד את המושג 'שנים'  באמצעות הרמת שני אגוזים התלמיד עלול לחשוב ששנים זה הצבע של האגוזים, אבל אם תרים את שני האגוזים ותגיד את המילה 'שנים' במהלך לימוד שפה - התלמיד יבין למה התכוונת בגלל ההקשר.  
***

תאלס הגדיר מספר כאוסף של אחדים, בהתאם למה שלמד ממוריו במצרים, אבל פיתגורס הגדיר את המספר כתוצאה של האחד, שהוא כעין זרע שמעניק למספרים אנרגיה. מקור:

Thomas Taylor's Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans p. 244

***

אם מתייחסים אל שני חלקיו של הפסוק מוֹנֶה מִסְפָּר לַכּוֹכָבִים לְכֻלָּם שֵׁמוֹת יִקְרָא (תהלים קמז, ד) כאל תקבולת מקראית מספר הוא שם, וספירה היא הפעולה המקבילה לקריאה בשם. כמו שיש התאמה חד חד ערכית בין שמו של כוכב לבין הכוכב הגשמי, כך יש התאמה חד חד ערכית בין כמות הכוכבים לבין מספרם. כלומר: מספר הוא שם של כמות. מספר אחד הוא שם הכמות של כוכב בודד. מספר שניים של צמד כוכבים. מספר אפס של אף כוכב.

ההגדרה של אוקלידס, שמספר הוא ריבוי שמורכב מאחדים איננה עונה על השאלה מהו מספר אלא על השאלה ממה מורכב מספר. בנוסף, הפילוסוף גוטלוב פרגה טען, בראשית המאה העשרים, שהגדרתו של אוקלידס איננה תואמת את המספרים 1 ו-0. הפילוסוף אדמונד הוסרל טען כנגדו שאפס ואחד אינם מספרים. ואכן, זכותם של האפס והאחד להיקרא מספרים שנויה במחלוקת. היוונים הפרידו בין תורת המספרים של הפילוסופים לבין תורת החשבונאות של הסוחרים בשוק. בתורת המספרים האחד אינו ניתן לחלוקה, כמו שהנקודה הגאומטרית היא, לשיטתו של אוקלידס, "מה שאין לו חלקים", אבל לא הפריע ליוונים הקדמונים שתורת החשבונאות שברה את האחד לשברים.