יום שישי, 31 בינואר 2014

טטרקטיס מעוקב



ליאון בטיסטה אלברטי (1472 - 1404) כתב בפרק החמישי בספר התשיעי שלו על ארכיטקטורה:
"אריסטו האמין שהמספר עשר הוא המושלם שבמספרים כנראה בגלל שהריבוע שלו [מאה] מורכב מארבעת המספרים המעוקבים [קוביות] הראשונים"

1=1
8=2
27=3
64=4

1+8+27+64=100

בניסוח אחר: התגלית לעיל המיוחסת לאריסטו מבוססת על המילוי של המעוקבים, שמבוסס על מה שנקרא מספר משולש, שהוא הצטברות המספרים הטבעיים כמו המילוי של שניים:
1+2=3

המילוי של שלוש
1+2+3=6

המילוי של ארבע
1+2+3+4=10

להלן התחלת הסדרה של מילוי הריבועים
1   1
2  1+4=5
3    1+4+9=14
4     1+4+9+16=30
5  1+4+9+16+25=55   
6    1+4+9+16+25+36=91 
7   1+4+9+16+25+36+49=140 
8    1+4+9+16+25+36+49+64=204
9    1+4+9+16+25+36+49+64+81=285
10   1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385


הטטרקטיס של רפאל



הטטרקטיס של פיתגורס מצויר בגיר על לוח לרגלי דמותו של פיתגורס, פרט קטנטן מתוך ציור קיר ענק שנמצא בארמון האפוסטולי שליד כיכר פטרוס הקדוש בקריית הוותיקן. הציור צויר בשנת 1510 והוא נקרא בשם האסכולה של אתונה. צייר אותו הצייר האיטלקי רפאל (1483 - 1520). מתחת לטטרקטיס הספרה הרומית X, עשר, שהרי בטטרקטיס מופיעים עשרת המספרים הראשונים. מעל לטטרקטיס המחשה לקשר שבין מוסיקה למספרים, שאת גילויו מייחסים לפיתגורס.

מקור: ויקיפדיה. ערך: אסכולת אתונה

על הקשר שבין מוסיקה למספרים






תמונה: חיתוך עץ שבו נראה פיתגורס בוחן את התיאוריה שלו על הקשר שבין מוסיקה למספרים על כלי נגינה מסוגים שונים. מתוך ספר על תיאוריה של מוסיקה מאת פרנצינו גאפוריו שפורסם בסביבות שנת 1492 . מקור:

***
התייחסות חשובה במיוחד לטטרקטיס של הפיתגוראים כלולה בפסקאות 92 עד 109 בספר נגד הלוגיקנים מאת הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, שחי בערך בשנים 160 - 210 לספירה. תרגמתי מאנגלית חלק ממנה.

"אבל נקודת המוצא במבנה של הכולות היא המספר. משמעות הדבר היא שניתן להתייחס להיגיון, שלפיו אנו שופטים את כל הדברים, גם כאל מספר, שהרי המספר הוא חלק מן ההיגיון. וכאשר הפיתגוראים מבליטים עניין זה הם לעתים רגילים לומר שהכל הוא כמו מספר. בפעמים אחרות, כאשר נשבעו את שבועת הרופאים, אמרו: האיש שהוריש לנו את הטטרקטיס, שהוא המעין שבו שרויים השורשים של הטבע הנצחי. במלים "האיש שהוריש לנו" הם התכוונו לפיתגורס (כי הם הפכו אותו לאל) ובמילה "טטרקטיס" הם התכוונו למספר מסוים, שהוא התוצאה של חיבור ארבעת המספרים הראשונים שמייצר את המספר המושלם ביותר, עשר.  ומספר זה הוא הטטרקטיס הראשון, והוא נקרא "המעין של הטבע הנצחי" כי היקום כולו, לדבריהם, מנוהל בהתאם להרמוניה. והרמוניה היא מערכת של שלושה מרווחים מוזיקליים, הרביעי, החמישי ,והאוקטבה, [השמיני], והפרופורציות של שלושת המרווחים האלה נמצאות בארבעת המספרים שהוזכרו קודם - אחד , שניים, שלוש וארבע. כי הרביעי הוא ביחס של 4:3, החמישי ביחס של 3:2, והאוקטבה ביחס של 2:1 . ומכאן המספר ארבע, בהיותו גדול בשליש מהשלוש (שכן הוא בנוי מן השלוש עצמו בתוספת שליש מהשלוש [כלומר בתוספת אחד] מכיל את המרווח של הרביעי; שלוש, בהיותו גדול בחצי מן השנים, כולל את השניים בתוספת חצי ממנו [כלומר בתוספת אחד] מגלה את המרווח של החמישי; וארבע, שהוא פעמיים שניים, וגם שניים שהוא פעמיים  אחד, ולכן הם מסוגלים להכיל את האוקטבה. לפיכך, הטטרקטיס מספק את הפרופורציות של המרווחים שהוזכרו, והמרווחים יוצרים  את ההרמוניה המושלמת, והכל מנוהל בהתאם להרמוניה מושלמת, ובזכות זה הם קראו לזה  המעין שבו שרויים  השורשים של הטבע הנצחי. חוץ מזה, הגשמי ושאינו גשמי (שממנו הכל נובע) נתפסים באמצעות היחסים שבין ארבעת המספרים האלה. כי אנו יוצרים קו, שהוא אורך בלי רוחב, מתנועת הנקודה, ואנו יוצרים רוחב, שהוא סוג של שטח ללא עומק, מתנועת הקו, ומתנועת השטח מתהווה הגוף המוצק. הנקודה מתאימה ליחידה, שאינה ניתנת לחלוקה (וכמוה גם הנקודה), והקו מתאים למספר שניים, כי הקו מגיע ממקום כלשהו, כלומר מנקודה לנקודה וממנה לנקודה אחרת. ומתאים לגוף המוצק המספר ארבע, כי אם מעל לשלוש נקודות נתלה נקודה רביעית, יצרנו פירמידה, שהיא בעצם הצורה הראשונה של גוף מוצק. זה סביר, אם כן, שהטטרקטיס הוא המעין שממנו נובע הטבע של הכולות".

אחדות הניגודים



ביחידות אחד ראשון תשע אחרון, אחד קטן תשע גדול. ראשון ואחרון הם ניגודים. קטן וגדול הם ניגודים. אחדות הניגודים היא כאשר האחד והתשע מתחברים בעשר.
החל מהשלוש כל מספר הוא אחדות הניגודים של חציו הקטן עם חציו הגדול:
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
1+7=8
1+8=9
1+9=10



וכן הלאה
=

בין האחדים שבשניים יש ניגודיות חזקה: אחד בימין אחד בשמאל, אחד בצד אחד, ואחד בצד האחר (סיטרא אחרא). אחד מסמל אחדות, אחד מסמל ריבוי, אחד מסמל זכר, אחד מסמל נקבה; והשלישי, שבאמצעם, מפרידם, מרחיקם זה מזה, מפשר ומגשר ביניהם.

יום חמישי, 30 בינואר 2014

זה לא מספר



תמרור אזהרה בירידה משכונת גילה שבירושלים
נראה כמו עיצוב חדשני של המספר 41

הטטרה שבטטרקטיס הפיתגוראי



שמו של המשולש בן עשר הנקודות שהיה קדוש לפיתגוראים, טטרקטיס, בא מן המילה היוונית טטרה שמשמעותה ארבע. ארבעת המספרים הראשונים מכילים את כל המספרים, כי
1+2+3+4=10
וכל המספרים האחרים הם עותקים של עשרה המספרים הראשונים.

המוטיב של הארבע שבעשר מופיע גם בקבלה, שם מדברים על עשר ספירות וארבעה עולמות (אצילות, בריאה, יצירה ועשייה).

*** 
אם תתבוננו היטב תראו שששת הנקודות שאין עליהן תווית של מספר יוצרות משושה שחסום במשולש של הטטרקטיס. הנקודות של המשושה ביחד עם הנקודה שבמרכז מהוות את השבע שבעשר, שבו, כמו בימות השבוע, ששה מספרים מסוג אחד מקבלים את חיותם מן המספר שבמרכז, שהוא מספר ממין שונה. בעצם הוא מרכז של מעגל שחוסם את המשולש, ובתור שכזה הוא נקרא אצל הפיתגוראים בשם מונאדה, שמשמעותו אחד.
*** 
הערה של חיליק ואו פתוח:
הארבע נמצא בשבע כמרכז שלו. השבע נמצא בארבע בריבוע שלו - 16 - שסכום הספרות שלו הוא שבע

***
מעניין אם הרעיון של הטטרקטיס, הרעיון של הארבע שבעשר, בא לפיתגוראים מצורת המספרים בשפה היוונית. היו להם שתי שיטות של מספרים. באחת, ההרודיאנית, הקדומה, המספר עשר צורתו הייתה צורת משולש שווה צלעות, והוא נקבע לפי האות הראשונה של המילה היוונית לעשר (DEKA ), ואילו בשיטה האלפביתית אותה צורה הוקדשה לאות הרביעית, ושימשה כמספר 4.   

יום רביעי, 29 בינואר 2014

התשעה משתחווים לאפס



תשעת המספרים הראשונים הם מאותו סוג, על אותה רמה, אבל האפס הוא משהו אחר, מרמה אחרת. כל אחד מתשעת המספרים האלה נקרא על שם מרחקו מן האפס, אבל האפס אינו רחוק מעצמו. כל אחד מהתשעה הוא נברא אבל האפס בורא אותם, ומאחר שהאפס הוא אחד הוא בורא אותם בצלמו כדמותו.
במקום האפס ניתן היה לשים גם את העשר שאף הוא תופעה מסוג אחר, ואף הוא שייך לרמה אחרת. הוא מתחיל את העשרות, והוא יוצר מתשע היחידות קבוצה אחת. הוא דומה יותר לאפס מאשר ליחידות, וכשם שהאחד נובע מן האפס, כך העשר נובע מן התשע. העשר הוא האחד (הראשון) בעשרות, ולפניו אין עשירייה אחרת, כמו שהאחד הוא הראשון ביחידות ולפניו אין יחידה אחרת.

הפיתגוראים המחישו את ההתבוננות שלהם במספרים באמצעות אבנים קטנות שאותן סידרו בצורות גיאומטריות. הסידור החשוב ביותר מבחינתם היה הסידור של עשרת המספרים הראשונים בצורת משולש בעל ארבע שורות שנקרא טטרקטיס. בצילום אנו רואים תשע נקודות על ההיקף של המשולש ואחת במרכז. אם מתייחסים לנקודה שבמרכז כאל אפס, או כאל עשר, נדמה שהיחידות שמסביב משתחוות לה. מה שמזכיר את חלום האלומות של יוסף, למרות ששם מדובר על 10, שמשתחווים לאחד, ולא על 9.
וַיַּחֲלֹם יוֹסֵף חֲלוֹם, וַיַּגֵּד לְאֶחָיו; וַיּוֹסִפוּ עוֹד שְׂנֹא אֹתוֹ.  וַיֹּאמֶר אֲלֵיהֶם:  שִׁמְעוּ נָא הַחֲלוֹם הַזֶּה אֲשֶׁר חָלָמְתִּי: וְהִנֵּה אֲנַחְנוּ מְאַלְּמִים אֲלֻמִּים בְּתוֹךְ הַשָּׂדֶה, וְהִנֵּה קָמָה אֲלֻמָּתִי וְגַם נִצָּבָה, וְהִנֵּה תְסֻבֶּינָה אֲלֻמֹּתֵיכֶם, וַתִּשְׁתַּחֲוֶיןָ לַאֲלֻמָּתִי.  (בראשית לז ה-ז).
לפי סיפור מקראי זה יוסף מופיע במרכז כחריג, כיוצא דופן, כמשהו מרמה אחרת, כתוספת ל-10, ואולי מכאן שמו - יוסף.

יום שלישי, 28 בינואר 2014

משפט שלמה בראי תורת המספרים



הפילוסופים הראשונים ביוון העתיקה עסקו באופן נמרץ ביותר בניסיונות לברר מהו האחד, האם הוא מספר, מה משמעות אחדותו, במה מתבטאת אחדותו של מספר, מה הקשר בין אחדותו של האחד לבין אחדותם של המספרים האחרים, האם האחד זוגי או אי זוגי או שניהם. שאלות מעין אלה היו ככל הנראה משותפות גם לתרבויות אחרות, אך הביטוי להן היה לעתים מיתולוגי, או אגדתי. על רקע זה מעניין להתבונן בסיפור המקראי על משפט שלמה המלך (– מלכים א' ג', טז-כח) כניסיון לברר מהו האחד. התשובה המשתמעת מן הסיפור היא שהאחד אינו ניתן לחלוקה, אם יחולק ימות. באחדותו - חיותו.
הנה קטע מהסיפור:

וַיֹּאמֶר הַמֶּלֶךְ: גִּזְרוּ אֶת הַיֶּלֶד הַחַי לִשְׁנָיִם, וּתְנוּ אֶת הַחֲצִי לְאַחַת וְאֶת הַחֲצִי לְאֶחָת. וַתֹּאמֶר הָאִשָּׁה אֲשֶׁר בְּנָהּ הַחַי אֶל הַמֶּלֶךְ, כִּי נִכְמְרוּ רַחֲמֶיהָ עַל בְּנָהּ, וַתֹּאמֶר: בִּי אֲדֹנִי, תְּנוּ לָהּ אֶת הַיָּלוּד הַחַי, וְהָמֵת אַל תְּמִיתֻהוּ; וְזֹאת אֹמֶרֶת: גַּם לִי גַם לָךְ לֹא יִהְיֶה, גְּזֹרוּ. וַיַּעַן הַמֶּלֶךְ וַיֹּאמֶר: תְּנוּ לָהּ אֶת הַיָּלוּד הַחַי, וְהָמֵת לֹא תְמִיתֻהוּ; הִיא אִמּוֹ.

ייצוג המספרים הזוגיים והאי זוגיים אצל הפיתגוראים





הפיתגוראים התבוננו במספרים אחרי שסידרו אבנים קטנות בצורות גיאומטריות. כך ככל הנראה נראה אצלם ייצוג המספרים  הזוגיים והאי זוגיים.
=
צילום מעובד בהשראת עמוד 33 בספרו של וולטר בורקט

Lore and Science in Ancient Pythagoreanism 

יום שני, 27 בינואר 2014

טטרקטיס עברי


בשורה הראשונה אחד בריבוע, בשנייה- שניים בריבוע, בשלישית 3 בריבוע, ברביעית 4 בריבוע, בסך הכל שלושים.
בטטרקטיס היווני המקורי בדרך כלל יש בשורה הראשונה אחד, בשנייה- שניים, בשלישית 3, ברביעית 4 בסך הכל עשר.

יום ראשון, 26 בינואר 2014

גבולו של מספר


תודה לגדעון על ששלח לי בול זה
תודה לחיליק ואו פתוח ששלח לי כתבה זו

האחד אינו יכול להגביל את עצמו כי אין לו ריבוע.
המחשה להגבלה היא המעוין הראשון, שמתאר את הגבולות של 2
.
.    .
.
השנים הוא
2x
בשורות הראשונה והאחרונה רואים את המספר אחד שהוא גם המילוי של אחד וגם ה X של 2
ובין השורות רואים את הנקודות של המספר 2
הריבוע של 2 (4) מורכב לא רק מכפל של השנים בעצמו, כמו בכל ריבוע, אלא גם מפעמיים המילוי של אחד ועוד עצמו.

המעוין של הארבע מורכב משש עשרה נקודות

.
.    .
.    .    .
.    .    .    .
.    .    .
.    .
.



וניתן לראות שהוא מורכב, בעצם, משני משולשים שביניהם יש קו
הנה כך:
.
.    .
.    .    .
___________
.    .    .
.    .
.

כל משולש הוא המילוי של שלש, שהוא שש.
כך שמה שמגביל את הקו של ארבע הנקודות הוא המילוי של שלוש שמעליו, והמילוי של שלוש שמתחתיו או
16=6+6+4
או
16=2(1+2+3)+4

כל מספר אי זוגי מורכב מ
2X+1
לדוגמה:
3=(2.1)+1
5=(2.2+1)
7=(3.3)+1
כאשר הוא מוצג בצורת אחדים
111
11111
1111111
יש לו מרכז שהוא אחד :
1M1
11M11
111M111
המרכז מוגבל על ידי המילוי משני צדדיו. 

פירמידה כמעין טטרקטיס תלת ממדי



חיליק ואו פתוח שלח לי את הכתבה הבאה אודות הנוסחה שמחברת בין סכום האחדים עד למספר מסוים לבין סכום הריבועים עד לאותו מספר:
 
הנוסחה לסכום הריבועים עד מספר מסוים היא שליש מן המכפלה של המילוי של אותו מספר עם הבית שלו
לדוגמה: סכום הריבועים מאחד עד ארבע

1
22
333
4444
או כמו שאנחנו מכירים מאריתמטיקה:
1, 4, 9, 16, 25
המילוי
1, 3, 6, 10,
הבית
2X+1

כאשר
X=4
המילוי = 10
2X+1=9
10.9:3=30

  
.
.  .
.  .  .
.  .  .  .

כאשר מתבוננים בטטרקטיס בצורתו המלאה, כאשר בכל שורה מוצג המספר בריבוע
1
22
333
4444
מה שאנחנו רואים הוא מעין טטרקטיס תלת ממדי בצורת פירמידה רבועה
שקדקודה אחד (בריבוע)
מתחתיה חתך דו ממדי בצורת ריבוע של השנים
מתחתיו חתך דו ממדי בצורת ריבוע של השלש
ובבסיס ארבע בריבוע

הנוסחה לסכום הריבועים עד מספר מסוים מזכירה את הנוסחה למציאת נפח של פירמידה: בסיס כפול גובה חלקי שלש. ה"חלקי שלש" רומז לנו על ההתאמה בין העולם הרגיל לבין תורת המספרים.

יום שבת, 25 בינואר 2014

שמות האל בטטרקטיס של הפיתגוראים


בקמעות יהודיים מופיעות בטטרקטיס הפיתגוראי במקום הנקודות אותיות שמרכיבות את שם האל בן ארבע האותיות, כאשר בשורה הראשונה אות אחת, בשנייה שתיים, בשלישית שלש וברביעית ארבע. לפי המסורת היהודית (לדוגמה, (רש"י בפירושו לגמרא, מסכת סוכה, מה.) השם בן שבעים ושתים אותיות מורכב מאותיות, שמקורן בפסוקים יט-כא בספר שמות, אבל ניתן לראות בתמונה לעיל שהמספר 72 הוא גם סכום הערך המספרי של אותיות השם המפורש בן ארבע האותיות:
יו"ד= 10 והיא מופיעה ארבע פעמים- ביחד ארבעים
ה"א= 5 והיא מופיעה ארבע פעמים- ביחד עשרים
וא"ו= 6 והיא מופיעה פעמיים- ביחד שתים עשרה
4x10+4x5+2x6=72

***
בספר "אמר אברהם המחבר- פרקים על פירושי הראב"ע" מאת ד"ר אברהם בן עזרא מובאת בעמוד 30 גם הגימטריה של שמות האותיות של השם בן ארבע האותיות:

יוד = 10+6+4=20

הי =5+10=15

ויו =6+10+6=22

הי =5+10=15


סך הכול 20+15+22+15=72

בנוסף, סכום הספרות של 72 הוא תשע, ותשע מסמל את הכל, כי כל המספרים האחרים מקורם בתשעת המספרים הראשונים.

***

כתבה זו מבוססת על תגובה של Emmanuel Suzan מפליקר

יום שישי, 24 בינואר 2014

המראה המקורי של משפט פיתגורס


בתקופת פיתגורס נהגו לייצג מספרים באמצעות אבנים, שנקראו ביוונית בשם פספוי, ומהן יש לנו היום בעברית את המילה פסיפס. התמונה לעיל ממחישה, במידת מה, את המראה המקורי שיכול היה להיות לפיתגורס כשהגה את המשפט שלו, שהפך, ברבות השנים, למשפט הידוע ביותר בתורת הגאומטריה. 

אבנים מייצגות מספרים



בדרך כלל אנחנו תופסים את אבני החושן כמייצגים את שנים עשר השבטים, אבל למה דווקא אבנים ולא שום חומר אחר?
ברחבי העולם העתיק אנשים השתמשו באבנים כדי לייצג מספרים, וחישבו את חשבונותיהם באמצעות הזזת אבנים על גבי לוח. נראה כי הפיתגוראים היו עונים ששנים עשר השבטים, ושתיים-עשרה האבנים, מייצגים את המספר 12 (ולא להפך) כי מספרים הם הכל, וכל העולם נשען על מספרים, כמו שבמיתולוגיה ההודית הארץ נחה על גבי ארבעה פילים, והפילים עומדים על צב ענק.


מקורFlammarion, History of the Heavens, 1877

נוהגים לפרש את האגדה הזאת במין חיוך עקום, כאילו שאנחנו בוגרים בעוד שההודים הקדמונים היו אינפנטילים, אבל הכוונה של האגדה ההודית היא שהעולם נשען על המספר ארבע שמיוצג על ידי ארבעה פילים, והמספר ארבע נשען על המספר אחד שמיוצג על ידי הצב, וניתן כיום להמשיך את האגדה ולספר שהצב נשען על האפס, שהוא המספר היחיד שקיים, וכל האחרים אינם אלא בבואות שנוצרו בצלמו כדמותו. 
נוסח מקביל לאגדה ההודית על ארבעת הפילים ניתן לגלות בסיפור המקראי הבא: 
וְנָהָר יֹצֵא מֵעֵדֶן לְהַשְׁקוֹת אֶת הַגָּן, וּמִשָּׁם יִפָּרֵד וְהָיָה לְאַרְבָּעָה רָאשִׁים. שֵׁם הָאֶחָד פִּישׁוֹן הוּא הַסֹּבֵב אֵת כָּל אֶרֶץ הַחֲוִילָה אֲשֶׁר שָׁם הַזָּהָב (בראשית, ב, י- יא) (בראשית, ב, י- יא)
=
מעניין לשים לב שבצילום של המגן דוד יש שש אבנים שמוקפות בשש אבנים. אילו הקפנו כל קבוצה כזאת בעיגול ניתן היה לדמותן כאדוות שנוצרות במים לאחר פגיעה של אבן. 

יום שלישי, 21 בינואר 2014

שדות בתוך שדות




בדרך כלל אנחנו תופסים את המספרים כישויות נפרדות שניצבות זו לצד זו, או זו מעל לזו, אבל האמת היא שהמספרים מכונסים זה בתוך זה כמו שדות בתוך שדות, כמו בובות רוסיות, או כמו גלדים בבצל. בתמונה אנו רואים את המספרים הראשונים כריבועים, אבל ניתן להבין שאותה תופעה מתרחשת גם בקוביות. האופן הרגיל בו אנו תופסים את המספרים מוצג כקו בצד שמאל של כל ריבוע.




איזה צירוף מקרים. קניתי בחנות צעצועים עשר חפיסות של חמש אבנים, כלומר חמישים אבנים. לא חישבתי כמה אבנים אצטרך לפרויקט, וגם לא ידעתי מה בדיוק אני רוצה להראות. סידרתי את האבנים בצורת קוביות:
13
23
33
ובצורת ריבועים
12
22
32
בסך הכל השתמשתי ב-36 אבנים בשביל הקוביות
1+8+27=36
וב-14 אבנים בשביל הריבועים
1+4+9=14
בסך הכל חמישים, מתאים בדיוק מדהים למה קניתי.
***
בתמונה ניתן לראות כי :
1 . כל האבנים באותו גודל.
2 . 12 = 13
3 . בקובייה של 2 יש כפליים יותר אבנים מאשר יש בריבוע של 2 .
4 . בקובייה של 3 יש 3 פעמים יותר מאשר בריבוע של 3 .
5 . האבן הראשונה מופיעה כ-1 מתוך 4 בריבוע של 2, וכ-1 מתוך 8 בקובייה של 2 .
6 . האבן הראשונה מופיעה כ-1 מתוך 9 בריבוע של 3, וכ-1 מתוך 27 בקובייה של 3.

7 . קובייה של 1 משמשת כחלק מקובייה של 2 אשר משמשת כחלק מקובייה של 3.



כשלמדתי בבית הספר את משפט פיתגורס לא הסבירו לי מה חשיבותו, ובאינטרנט מסבירים בדרך כלל את חשיבותו המעשית לבנאים ולאדריכלים, אבל לדעתי משפט פיתגורס  חשוב משום שהוא מטמין בתוכו מסר חיוני לתורת המספרים. המסר הוא שכל מספר הוא חלק ממספר שגדול ממנו, ושכל המספרים תחובים זה בתוך זה כמו גלדים בבצל. משפט פיתגורס הוא מקרה פרטי של חוק זה, והוא מדגים אותו באמצעות שני ריבועים שמרכיבים ריבוע שלישי, אבל אותם מספרים יכולים להרכיב גם קוביות. רק בממד של הטור לא רואים איך כל מספר תחוב במספר אחר.  

כל מספר הוא מרכיב של מספר שגדול ממנו. המספרים הראשוניים נחשבים למספרים מקוריים כי אינם מורכבים ממספרים אחרים, אבל, מצד שני, הם מרכיבים של מספרים אחרים, שגדולים מהם, ומבחינה זו הם דומים לכל מספר אחר.

יום ראשון, 19 בינואר 2014

מקורות לתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא

 יוסף ספרא
1931-2003


יוסף ספרא
1931-2003

כשלמדתי את תורת המספרים מיוסף ספרא לא עניין אותי לדעת מה מקורותיה, אבל כיום, כשלושים שנה מאוחר יותר, משמח אותי כשאני נתקל, או אפילו כשנדמה לי שאני נתקל, במקור שכזה. זכור לי שיוסף ספרא השתמש לעתים בביטוי "מכריע בינתיים". ביטוי זה לקוח מספר יצירה: "שלש אמות אמ"ש, יסודן כף זכות וכף חובה ולשון חק מכריע בנתיים" (פרק ב משנה ד). נדמה לי שזהו מקורה של ההבחנה שלו לפיה כל מספר אי-זוגי, 2X+1, בנוי כמעין מאזנים, ואם נחסיר ממנו אחד ונחלקו לשניים נמצא על הכף הימנית את X , שהוא חציו האחד, ועל הכף השמאלית את X, שהוא חציו האחר. לא משנה מה גודל המספר, הצטרפות האחד שבמרכז, שהוא לשון המאזנים, לאחד הצדדים, מכריעה את הכף לטובתו, ומעתה הוא גדול באחד מן החצי השני של המספר המקורי. 






ל 2X+1  קרא יוסף ספרא בשם בית. גם השם הזה לדעתי מקורו בספר יצירה (משנה טז): "שתי אבנים בונות שני בתים, שלש אבנים בונות ששה בתים". בספר יצירה אבן משמעותה אות ובית משמעותו צירוף של אותיות, אבל, כידוע, בעברית יש לכל אות ערך מספרי, או בניסוח אחר: בעברית כל אות היא מספר.

בספר יצירה יש גם רמז לתיאור של בית: "שבעה חלוקים, שלש מול שלש ואחד מכריע ביניהם". 

אני זוכר שיוסף ספרא דיבר על הקשר שבין אל"ף לפל"א. המקור: רבי משה קורדוברו, ספר פרדס רמונים שער ב פרק ב: "ועוד כי המספר הם עשר, ומעשר יעלו למאה, וממאה יעלו לאלף, והיינו אלף שהוא אחד בסוד חזרת הענין אל היחוד הגמור כענין הספירות שבכולם, כי עשר פעמים עשר הם מאה. עוד נכללם פעם אחרת הם אלף, דהיינו אל"ף בסוד פל"א, שהוא חזרת הדברים אל מקורם בסוד היחוד". 


אפשר לראות איך כל המספרים מורכבים מאחד באופן הבא:
1
11
111
1111
11111
111111
1111111
11111111
111111111
וכן הלאה
רמז למראה זה, שמספר מורכב מאחדים, בספר יצירה ו, ו: "שלשה אחד אחד לבדו עומד". כלומר המספר שלש הוא קבוצה של שלושה אחדים ששווים זה לזה בגודלם. אבל המספר ארבע מורכב משתי קבוצות, שבכל אחת מהן שני אחדים, והקבוצות שוות בגודלן. השוויון בין האחדים שבמספר שנים מופר אם מתייחסים לשני האחדים שבמרכז כאל 2

121

יוסף ספרא קרא לסכום המספרים מאחד עד למספר כלשהו בשם תוכן של מספר, או מילוי של מספר. מקורו של מראה זה מיוחס לפיתגורס, והוא נקרא בשפת החשבון הרגילה בשם מספר משולש.

מקור האמירה של יוסף ספרא שהאחד הוא גם זוגי וגם אי זוגי בספרו של תיאון מסמירנה שייחס לאריסטו את האמירה שהאחד הוא גם זוגי וגם אי זוגי בגלל שאם מוסיפים אותו לזוגי התוצאה היא אי זוגית ואם מוסיפים אותו לאי זוגי התוצאה זוגית. 

מקורה של ההתבוננות הצורנית במספרים



במשך אלפי שנים הייתה ההתבוננות במספרים מוחשית ולא מופשטת. אנשים המחישו לעצמם את המספרים באמצעות חמש אצבעות כף היד, או באמצעות עצמים שונים שייצגו מספרים. מעניין שאותיות המילה חמש נמצאות, אמנם בסדר שונה, בתוך המילה המחשה. ראוי גם לציין שאנשים חשו באצבעותיהם את העצמים שייצגו מספרים, ממד שהלך לנו לאיבוד בכתיבת המספרים המודרנית על הדף. בשיא פריחת המתמטיקה ביוון העתיקה נהגו לסדר חלוקי אבן קטנים בצורות גאומטריות, ולבחון את תכונותיהם המספריות. כך הציגו את המספרים המשולשים:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45.
את המספרים בריבוע
1, 4, 9, 16, 25
וכן הלאה
הרעיון של חיבור נקודות באמצעות קו הוא ככל הנראה בן עשרות אלפי שנים, ומי שהמציא אותו היה, ככל הנראה, זה שגילה בכוכבים את המזלות, כשראה אותם כנקודות וחיבר ביניהן קווים.    

יום חמישי, 16 בינואר 2014

לוח השחמט כהמחשה לתוכנו של מספר



מספר אינו תופעה עצמאית. כל מספר מורכב מאחדים, אבל הוא גם המשך של המספרים שקדמו לו, שגם כל אחד מהם אינו תופעה עצמאית אלא הוא המשך של המספרים שקדמו לו... עד האחד.  התוכן, או המילוי של מספר הוא סכום המספרים מאחד עד אליו.  בלוח השחמט ניתן לראות מכל פינה איך משבצת אחת גובלת בשתי משבצות, ושתי משבצות בשלוש, עד שמגיעים לשמונה משבצות. בשורה הבאה יש שבע משבצות, שגובלות בשש, שגובלות בחמש... עד האחד שבצדו השני של האלכסון שחוצה את הריבוע של לוח השחמט.
לוח השחמט מדגים, לפיכך, את התוכן של שמונה ואת התוכן של שבע. הנה כך
התוכן של שמונה
1+2+3+4+5+6+7+8=36
ועוד התוכן של שבע
1+2+3+4+5+6+7=28
בסך הכל
28+36=64
שהם
8.8=64
או

82=64
בלוח השחמט ניתן גם לראות, לאורך האלכסון, מהפינה השמאלית התחתונה, איך הזוגיים בשחור והאי זוגיים בלבן, ולהפך מהפינה הימנית התחתונה.

בריאת המספרים


כמו שהאחד בורא את השניים באמצעות הוספת עצמו לעצמו, תשעת המספרים הראשונים בוראים את כל שאר המספרים באמצעות הגלגולים, שהם הוספת תשע לכל אחד מהם. הנה כך:

1+9 =10  19   28   37   46   55   64  73   82  91  100
2+9= 11  20   29   38   47   56   65  74   83  92  101
3+9= 12  21   30   39   48   57   66  75   84  93  102
4+9= 13  22   31   40   49   58   67  76   85  94  103
5+9= 14  23   32   41   50   59   68  77   86  95  104
6+9= 15  24   33   42   51   60   69  78   87  96  105
7+9= 16  25   34   43   52   61   70  79   88  97  106
8+9= 17  26   35   44   53   62   71  80   89  98  107
9+9= 18  27   36   45   54   63   72  81   90  99  108

בקריאה של העמודות לאורך מתקבל טור המספרים הטבעיים.
ניתן לראות שטור זה בנוי בצורת שתי וערב, או כמעשה תשבץ, כאשר העמודות (במאונך) בנויות ממספרים שההבדל ביניהם הוא אחד, ואילו השורות (במאוזן) בנויות ממספרים שההבדל ביניהם הוא תשע.


כאשר מספר מתחבר לעצמו הוא יוצר לא רק את המספר שכפול ממנו בגודל אלא גם את המספר המקביל לו בעשרות, במאות וכו'. וכך: ה-2 יוצר בהתחברו לעצמו לא רק את ה-4  אלא גם את ה 22, ה-222 ה-2222 וכו', וזה נכון לגבי כל המספרים מ1- 9 אבל לא לגבי האפס, אלא אם נחשיב את האפסים שמתחברים כמו קרונות ברכבת לקטר שהוא מספר אחר, כמו במספר 30000.