יום שישי, 28 בפברואר 2014

הטטרקטיס של הפיתגוראים כמשוואה של השיטה העשרונית



בצילום נראה הטטרקטיס  של הפיתגוראים עם סימן X במקום נקודות. הרעיון הוא שנתייחס לכל נקודה כאילו הייתה X במשוואה מודרנית, כגון:
1x+2x+3x+4x=10x

כאשר
x=1
1+2+3+4=10

1
1    1
1    1    1 
1    1   1   1

כאשר
x=2
2+4+6+8=20

2
2    2
2    2    2
2    2   2    2
וכן:
3+6+9+12=30
4+8+12+16=40
5+10+15+20=50
6+12+18+24=60
7+14+21+28=70
8+16+24+32=80
9+18+27+36=90
10+20+30+40=100
11+22+33+44=110
12+24+36+48=120
וכן הלאה

הפיתגוראים האמינו כי הטטרקטיס שלהם, המשולש בעל ארבע השורות של הנקודות, הוא קדוש, לא רק משום שהיו טמונים בו הסודות של המספרים, אלא גם משום שהיו טמונים בו גם הסודות של הטבע.
הטטרקטיס של הפיתגוראים כמשוואה של השיטה העשרונית נותן לנו קמצוץ ממה שהפיתגוראים מצאו בסמל זה.
ספר יצירה (פרק א, משנה ג) גם נותן מקום מיוחד לעשר כאשר הוא מצהיר:

"עשר ספירות בלימה עשר ולא תשע עשר ולא אחת עשר, הבן בחכמה וחכם בבינה, בחון בהם וחקור מהם והעמד דבר על בורייו"...


אני חושב שאם נראה את הטטרקטיס כמשוואה של השיטה העשרונית לתלמידי בתי ספר היסודיים הוא עשוי להפיח רוח חיים בלימוד לוח הכפל, כי במקום ללמוד אותו בעל פה זה עשוי להוביל אותם לנקודת המבט שממנה לוח הכפל נראה במיטבו.

יום חמישי, 27 בפברואר 2014

תנועת הספירה הכפולה - מבט בלתי שגרתי -2



מאת יורם טנצר
השם הגלוי המוכר לכולנו, המִסְפָּר, מספר את סיפור התנועה: את הטווח המכסימלי שלה, את שיא התנועה.
התנועה עצמה קטנה ממספר זה ב-1, והיא סמויה מעינינו.
הסופר, ה-X, זה המניע את התנועה מאי ספירה, מ-1, אל 2, 3, 4, 5, לדוגמה, הוא 4. יש 4 תנועות מ-1 עד 5, ושוב 4 תנועות מ-5 ל-1.
באירוע הזה של ספירה ששיאה 5 - 1,2,3,4 מופיעים פעמיים. איך זה יתכן?
הם לא יכולים להיות שווים!
כלומר תיאור נכון של התנועה השלמה הוא

5
4    4
3        3
2              2
1                  1

בדוגמה הזאת של הכוח הסופר  4, המייצר את המספר 5, רק ה-5 הוא אחד. באירוע הספירה הזה,להרף עין, ה1 הפך ל-5.
ואילו 1,2,3,4 הפכו לכפולים וחייב להיות בהם שוני.
באופן סכמתי ה 1 הצטרף לאחד ה-X-ים, ולא חשוב לאיזה, ויצר
X+1, X
זו היא התנועה + שם התנועה. "ואשר יקרא לו האדם נפש חיה הוא שמו".
המבט המסכם של אירוע התנועה הכפולה, בדוגמה הזאת:
4+5=9
המבט הזה הוא התבנית, המטריצה, הבית, של התנועה הכפולה.

בפעם הבאה נראה המחשה של הטענה הזו. 

יום שלישי, 25 בפברואר 2014

במבחן התוצאה



התוצאה של כל מספר שמוכפל ב-10 תסתיים באפס.
התוצאה של כל מספר שמוכפל ב-1 תסתיים בסיומת של אותו מספר שהוכפל.
התוצאה של כל מספר אי זוגי שמוכפל ב-5 תסתיים ב-5.
Thomas Taylor בעמוד 241 בספרו
מציין שגילה כי התוצאה של כל מספר זוגי שמוכפל במספר 6 תסתיים בסיומת של אותו מספר זוגי שהוכפל:
2.6=12
4.6=24
6.6=36
8.6=48
10.6=60
12.6=72
14.6=84
16.6=96

18.6=108

שמות ימי השבוע והמספרים

אצלנו, היהודים, יש קשר ישיר בין שמות ימי השבוע למספרים, ככל הנראה בגלל שקשר זה נקבע בפרשת הבריאה שבתחילת ספר בראשית. אצל היוונים יש קשר עקיף בין יום ראשון ויום שני לבין המספרים אחד ושנים. כי יום ראשון נקרא אצלם יום השמש, והשמש ואל השמש שימשו כינויים וסמלים של המספר אחד, ויום שני נקרא אצלם יום הירח, והירח והאלה דיאנה שימשו כינויים וסמלים של המספר שניים, שהרי הירח מסמל את הניגודים מלא וחסר, ועוד ופחות.
השפעת היהודים ניכרת בשמות ימות השבוע אצל הנוצרים ואצל הערבים.
השפעת היוונים ניכרת בשמות ימות השבוע בשפות האירופיות.

בצילום רואים את ימי השבוע על צמיד מן המאה התשע עשרה:
משמאל לימין:
יום ב. דיאנה מסמלת את הירח Moon for Monday
ג: מרס,
ד. מרקורי (כוכב חמה)
ה. יופיטר
ו. ונוס
שבת: שבתאי
א. אפולו מסמל את השמש Sun for Sunday

מקור הצילום:
ויקיפדיה באנגלית ערך

Names of the days of the week

יום שני, 24 בפברואר 2014

מקור הרעיון של סכום הספרות של מספר



בתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף ספרא הרבינו להשתמש בסכומי ספרות של מספר, וכך אמרנו שאם נחבר את הספרות של המספר 321 נקבל את המספר שש. חיבור הספרות מוכר גם בגימטריה, על סוגיו השונים, אבל עד כה לא נתקלתי במקורו. אתמול קראתי בעמוד 115 בספרו של 
 T. L. Heath
A History of Greek Mathematics, Volume 1
שימבליכוס, בן המאה הרביעית לספירה  
(c. 245 – c. 325 C.E.)
טען בספרו "הקדמה לאריתמטיקה של ניקומאכוס" שחיבור הספרות של שלושה מספרים עוקבים מצטמצם בסופו של חשבון לשש
לדוגמה,
10+11+12=33=6
994+995+996= 2985=24=6
ובהמשך אותו עמוד מסופר על אב כנסייה בשם היפוליטוס, בן המאה השלישית לספירה, שכתב ספר שעוסק בהפרכת אמונות טפלות, שבו הוא מתנגד ל"חישוב פיתגוראי" שבו השתמשו בימיו לניבוי העתיד. חישוב זה נעשה באמצעות חיבור הערך המספרי של אותיות שמו של אדם וצמצומו לספרה אחת. 
 מחבר הספר מסכם במסקנה שהשימוש בשיטות שכאלה קדום בהרבה לסיפורים אלה, ושמקורו באריתמטיקה הפיתגוראית.

רבייה עצמית במספרים

האלה אתנה על בול יווני משנת  1986

בנוסף להתרבות המספרים באמצעות הוספת אחד שוב ושוב, או באמצעות הכפלה, כמו
2.3=6
מעניין לשים לב שכל מספר מחמשת המספרים הראשונים שבעשר יוצר את המספרים הבאים באמצעות הוספת עצמו לעצמו:

X
X+
=
1
1
2
2
2
4
3
3
6
4
4
8
5
5
10
6
3
9
7



האחד יוצר את השנים
השנים את הארבע
השלש את השש, ובהוספה נוספת של עצמו לעצמו את התשע
הארבע את השמונה
החמש את העשר

ורק השבע אינו נוצר בצורה הזאת. לכן הוא נחשב אצל הפיתגוראים למספר שנוצר יש מאין, ולכן הם קראו לו על שם אלת המלחמה אתנה, כי זו לא נולדה כלל אלא קפצה מראשו של זאוס עם כלי הנשק שלה, ממש כמו האחד.     

יום ראשון, 23 בפברואר 2014

הלמבדה של אפלטון

פרט מתוך איור שמופיע ב- Harmonia Mundi, ספרו של Francesco Giorgi  שיצא לאור בשנת 1525

בטימאיוס 35 ב,ג מסיק אפלטון מסקנות פילוסופיות מטור של שבעה מספרים שאותם הוא מציג בסדר הבא:
1, 2, 3, 4, 9, 8, 27
הוא אפילו מסביר בהמשך דבריו שהמספרים האלה חולקו לאורך, והונחו זה על זה בצורת צלב. למרות זאת, בדורות מאוחרים יותר, נהגו להציג את הטור של אפלטון בצורת האות היוונית למבדה, בשני טורים, כמעין זווית, ולכן נקראת התצוגה המשותפת של התחלות שני הטורים האלה בשם הלמבדה של אפלטון. בכל טור היו ארבעה איברים, כאשר  הטור האחד הוא החזקות של שניים: 1, 2, 4, 8 , ואילו הטור השני הוא החזקות של שלש: 1, 3, 9, 27.
בטור הראשון נהגו להקביל את האחד לנקודה, שאיננה ניתנת למדידה, את השניים לקו, שהוא הממד הראשון, את הארבע לשטח, שהוא הממד השני, ואת השמונה לנפח, שהוא הממד השלישי והאחרון. כאשר שמונה הוא המספר המעוקב הראשון. את הטור השני השוו לנקודה, לצלע של מצולע, לשטח ולנפח, כאשר 27 הוא המעוקב האי זוגי הראשון. 

היו גם מתמטיקאים שייחסו משמעות לזה שסכום שני הטורים, 55, הוא המילוי של עשר.
1+2+4+8= 15
1+3+9+27=40

40+15=55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10


בצילומים רואים את הלמבדה של אפלטון מוצגת  באמצעות אבנים קטנות, כפי שבני אותה תקופה נהגו להציג את המספרים.  


Thomas Taylor בעמוד 187 בספרו
מציין שהמספר השביעי (האחרון) בלמבדה של אפלטון, 27, הוא הסכום של ששת המספרים שלפניו
1+2+3+4+8+9=27

יום שבת, 22 בפברואר 2014

המרכז של הזוגיים



הפיתגוראים לא הכירו את האפס, הוא הומצא למעלה מאלף שנים אחרי התחלת האסכולה שלהם. אולי זו הסיבה שלשיטתם אין לזוגיים מרכז, שהרי יכלו לטעון שכמו שהאחד הוא המרכז של כל מספר אי זוגי, כך האפס הוא המרכז של כל מספר זוגי. אבל גם המבט הזה הוא תלוי דעה קדומה, כי אנחנו רגילים להתייחס אל המספרים כאילו שכל אחד מהם חי על אי משלו, ובין מספר למספר יש רווח, בעוד שהפיתגוראים התייחסו למספרים גם כשהם פרושים על קו, ואז אין שום רווח בין בין קטע לקטע. גם אז ניתן לראות שהייתה להם דעה קדומה, כי וודאי ראו שבמרכזו של כל מספר זוגי יש שני מספרים עוקבים, ולצדם יש שני אגפים שווים, X2, ממש כמו  שלאי זוגיים יש שני אגפים שווים, X2, לצדי המרכז (M).
לפיכך המרכז של שניים הוא שניים, כמו שהאחד הוא המרכז של האחד.
המרכז של ארבע: שניים ושלש.
של שש- שלש וארבע,
של שמונה -ארבע וחמש,
של עשר - חמש ושש וכן הלאה.
II
IIII
IIIIII
IIIIIIII
IIIIIIIIII
הX של שניים, כל אחד משני האגפים שלצדי מרכזו, הוא אפס, של ארבע- אחד, של שש- שניים, של שמונה- שלוש, של עשר ארבע, וכך אנו עולים במעלה המספרים הטבעיים ככל שנרצה.
המרכז הוא תמיד חצי מהבית ועוד אחד: אם הבית הוא ארבע המרכז שלו הוא חצי מהארבע (שניים) כשלצדו שלוש.

סכום  המספרים שבמרכז נותן את המספר הבא: השניים ועוד השלוש שהם המרכז של ארבע נותנים את החמש שהוא המספר שבא אחרי הארבע. סכום המרכז של שש הוא שבע, של שמונה- תשע, של עשר-אחת עשרה וכו'.
=
דרך אגב:
 כל 22 האותיות, מאל"ף ועד תי"ו, מרכזן בין 11 ל 12, בין כ"ף לבין למ"ד, שסכומן כל. 

יום חמישי, 20 בפברואר 2014

שוויון בנטל



בתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא מספר אי זוגי מתחלק לשלושה חלקים, לשני אגפים שווים ולמרכז, מה שנקרא בשם "2x+1  " או, כאשר האחד במרכז שבין שני האיקסים: 2x+m"", ואילו המספר זוגי מתחלק לשני חלקים ונקרא 2x.
אבל ניתן לראות שבעצם כל מספר מתחלק לשני אגפים שווים ולמרכז.  הנה כך:
המספר
X
M
X
1
0
1
0
2
1
0
1
3
1
1
1
4
2
0
2
5
2
1
2
6
3
0
3
7
2
3
2
8
4
0
4
9
3
3
3
10
5
0
5

1 מרכזו 1
אפס הוא המרכז של כל הזוגיים
יש סידרה של מספרים (כגון 3,6,9) שבהם M=X
עד 4 אפשרות הסידור היא אחת. מ 5 ואילך יש יותר ויותר אפשרויות סידור.

באי זוגיים, כאשר האחד של 2x+1 נמצא במרכז  - נבראת בכל טור של X סדרת המספרים הטבעיים:

המספר
X
M
X
1
0
1
0
3
1
1
1
5
2
1
2
7
3
1
3
9
4
1
4

התנועה המספרית מזווית ראייה בלתי שגרתית



כתב: יורם טנצר

האם ניתן לראות את המספרים כתנועה?
ודאי תשיבו בחיוב. יש תנועה בין 1 2 3 4 5 ...
או בין 12  9  6  3, או 1  10  100  1000, אפילו בתוך סדרה אקראית כמו 8 , 27, 4, 120,  650,  3
יש תנועה מסוג זיג זג.
אבל האם ניתן לראות את המספר הבודד כתנועה?
האם 7 למשל הוא עצמו תנועה?
האם מוצפנת בו תנועה, והיא היסוד של התנועות הגלויות שבין המספרים? ואם כן, האם הוא מספר בודד? האם יש בכלל מספר בודד?

התנועה שאנו חושבים עליה כרגיל היא רק חצי תנועה. תנועה מתחילה מאי תנועה 1  2  3  ---> עד כמה שצריך, או עד כמה שיש כוח לספור.
ומה אז? לאחר סיום אירוע הספירה? האם החומר המספרי הזה נותר זרוק בחלל המספרי? לאן הוא נעלם?
תנועה שלמה חוזרת על עקבותיה עד להעלמה באי תנועה. ממש כמו שאדם היוצא מביתו חוזר אליו (למרות שהוא אינו חוזר כפי שהיה, ועל כך בהמשך).
התנועה שהטווח שלה הוא 4 היא 1 2 3 4 3 2 1
כלומר, יש בה 7 אברים. הביטוי הסכמתי שלה הוא 7, והביטוי המפורש הוא מעוין:




סכום האברים במעוין הזה הוא 16 - בדיוק הריבוע של 4 שהוא טווח או שיא התנועה.

האם זה רק מקרה?
נביט בתנועה שהשיא שלה הוא 3:
 1  2  3  2  1 =9
יש בה חמישה אברים וסכומם הוא 9
שהוא שלש בריבוע

1      .
2       .  .
  3      .  .  .
2       .  .
1       .

כלומר, תנועה שלמה היא כזו שהקצה האחד שלה  באי תנועה והקצה השני הוא במרכזה. הקצה הזה, שהוא שיא האירוע, ובעצם לב האירוע, נמצא בטווח המכסימאלי של יציאה של התנועה מהאי תנועה. מפתיע?
שיא אירוע הספירה הוא שמה של התנועה. הוא הביטוי הגלוי לכולנו. 4 הוא שמה של התנועה שמתחילה ב 1, עשתה 3 תנועות, הגיעה ל-4 וחזרה ל-1:


       >2->3->4
    1-
         <-2 <-3

ולגבי התנועה ששמה 3:
       >2-->3-   
1-
        <-2

ה-7 וה-16 לא גלויים לעינינו, הם החלק הסמוי של התנועה השלמה.

עד כאן להיום.

בהמשך נבחן את הצופן ומה עוד מסתתר בו?!


הערה של זאב:

הרעיון שתנועה שלמה חוזרת על עקבותיה עד להעלמה באי תנועה. מופיע אצל ימבליכוס, בן המאה השלישית לספירה, בפרק על המספר שניים בספרו "התאולוגיה של האריתמטיקה".