יום שני, 31 במרץ 2014

מה ההבדל בין חיבור לבין כפל?


בדרך כלל מגדירים את הכפל כקיצור של חיבור, או כחיבור שחוזרים עליו שוב ושוב. הגדרה זו מניחה שמדובר בעצם בפעולה חשבונאית אחת שיש לה שתי גרסאות, אחת לקשי תפיסה ואחת שהיא ממש יעילה. ואמנם 8 הוא תוצאה של חיבור של ארבעה זוגות, וניתן לפרק אותו ל:
2+2+2+2
 אבל שמונה הוא גם חיבור של 3 עם 5, שאותו לא ניתן לפרק באופן דומה. כלומר לא כל חיבור הוא סוג של כפל, ולא כל כפל הוא סוג של חיבור. מדובר בשתי פעולות עצמאיות, שלעתים אחת מהן מגיעה לאותה תוצאה מהר יותר.
כפל של שני מספרים שונים ניתן תמיד להצגה בשני ממדים, כשטח, שבו אחד המספרים משמש כאורך והשני כרוחב. כפל של שלושה מספרים ניתן להציג בשלושה ממדים, כנפח, כאשר אחד המספרים משמש כאורך, השני כרוחב, והשלישי כגובה. לעומת זאת חיבור של שנים או של שלושה מספרים מתרחש בממד אחד בלבד, שהוא לינארי, כלומר, שהוא בצורת קו. חיבור של 3 עם 5 לא ניתן להציג כמלבן, אבל ניתן להציג כמלבן כפל של 2 ו4, שנותן את אותה תוצאה. 

כאשר מכפילים שברים אנחנו מכפילים את המכנים המשותפים. אבל לא כל כך ברור לי מה בדיוק אנחנו מחברים, ומדוע אנו עושים זאת. לעומת זאת קל לראות ולהבין שלוח השחמט הוא לא רק המחשה של מכפלת שמונה בשמונה אלא גם של שמינית בשמינית, ושטח כל אחד מן הריבועים שבלוח (בלי הבדל של צבע) הוא אחד חלקי 64 משטחו.  

יום ראשון, 30 במרץ 2014

גלגוליו של מספר חושפים את מרכיביו


גלגוליו של מספר, כפי שהסברתי בכתבות קודמות, יוצרים סדרת מספרים שההפרש בין כל שני איברים שלה הוא 9. ניקח לדוגמה את המספר 5. גלגוליו הראשונים הם:
14
23
32
41
50
אלה הם בעצם המרכיבים של חמש, ורואים זאת כאשר מחברים את הספרות שלהם
1+4=5
2+3=5
3+2=5
4+1=5
5+0=5
אחרי 50 הוספת 9 מתחילה לחשוף את המרכיבים של המרכיבים:
59=5+9=14
68=6+8=14
עד 158
אחרי 158 הוספת 9 מתחילה לחשוף את המרכיבים של 23:

167=1+6+7=23

וכן הלאה

סכומי הספרות של התכנים לפי זרם


בעקבות הערה של חיליק ואו פתוח לגבי סכום הספרות הסופי של התכנים של המספרים ששייכים לזרם של 147, שהוא תמיד אחד, בדקתי את סכומי הספרות הסופיים של התכנים של המספרים ששייכים לזרמים האחרים והתברר לי שהם או 3 או 6 או 9. בזרם של 369 התוצאה הזאת נראית סבירה, כי שש ותשע הם סוגים של שלש (שש מכיל שתי שלשות ותשע שלש). אבל לגמרי לא מובן מאליו מדוע סכום התכנים של 258 חייב להסתיים ב 3 או 6 או 9. (אפילו סכום הספרות של 258 הוא 15 שמצטמצם ל-6)


סכום התכנים של 147
1=1
4=10=1
7=28=1
10=55=1
13=91=1
16=136=1
19=190=1
22=253=1


סכום התכנים של 3 6 9
3=6
6=21=3
9= 45=9
12=78=15=6
15=120=3
18=171=9
21=231=6
24=300=3
27=378=18=9
30=465=15=6
33=561=12=3
36=666=18=9

סכום התכנים של 258
2=3
5=15=6
8=36=9
11=66=12=3
14=105=6
17=153=9
20=210=3
23=276=15=6
26=351=9
29=435=12
32=528=15=6
35=630=9
38=741=12=3
41=861=15=6
44=990=18=9


סכומי הספרות בזרמים השונים


לא כל מספר שמסתיים ב-3 או ב-6 או ב-9 (13, 16, 19 ודומיהם) מתחלק ב-3, אבל כל מספר שסכום הספרות שלו 3 או 6 או 9 מתחלק ב-3, בעוד שסכומי הספרות של הזרמים האחרים (147 ו 258) אינם מתחלקים בשלוש. מספר שסכום הספרות שלו 3 או 6 או 9 חייב להשתייך לזרם של 369.
3, 6, 9, 12 (=3), 15 (=6), 18 (=9), 21 (=3), 24 (=6), 27 (=9...
1, 4, 7, 10 (=1), 13 (=4), 16 (=7), 19 (=1), 22 (=4), 25 (=7)...
2, 5, 8, 11 (=2), 14(=5), 17 (=8), 20 (=2), 23 (=5), 26 (=8)...

העובדה הזאת יכולה להקל על מי שרוצה לדעת אם מספר גדול מאד הוא ראשוני, כי הוא יוכל לחבר את הספרות ולבדוק אם התוצאה מסתכמת ב-3 או ב 6 או ב 9.  מובן מאליו שכל מספר זוגי (כולל כל מספר שמסתיים ב- 0) אינו ראשוני כי הוא מתחלק ב-2. מובן מאליו שכל מספר שמסתיים ב-5 אינו ראשוני כי הוא מתחלק ב-5, אבל נדמה לי שהתופעה המיוחדת הזאת של סכומי הספרות שבזרם של 369 אינה כל כך מובנת מאליה. 

יום שישי, 28 במרץ 2014

התבוננות בהתאמה שבין גיאומטריה לבין תורת המספרים

יש התאמה מופלאה בין גיאומטריה לבין תורת המספרים, שלפיה קובייה היא מכפלה של שלושה מספרים, ריבוע הוא  מכפלה של שני מספרים, קו הוא חיבור של מספרים, ונקודה היא מספר בודד. במלים אחרות: נקודה היא מה שאין לו אורך, קו הוא מה שאין לו רוחב, שטח הוא מה שאין לו גובה (או עומק), אבל נפח הוא תלת ממד שלם ולא חסר לו דבר.
כאשר אנחנו מודדים קו, או שטח, או נפח, אנחנו מתאימים בין גיאומטריה לבין תורת המספרים. אנחנו מתרגמים את אורך הקו משפת הגיאומטריה (חלוקתו באמצעות נקודות למקטעים) לשפת המספרים.   

אנחנו מחשבים שטחים באמצעות סנטימטר מרובע, שנכתב, לשם הקיצור, בראשי תיבות ס"מ. אנחנו לא מודדים שטחים באמצעות ס"מ משולש ולא באמצעות ס"מ עגול. כלומר, גם את השטח של המשולש ושל העיגול אנחנו מודדים בסנטימטר של מרובע, או ליתר דיוק בסנטימטר רבוע של מלבן, שמתקבל כתוצאה מהכפלת אורכו ברוחבו.

למשולש יש רוחב (בסיס) אבל אין לו אורך. כדי לחשב את שטחו אנחנו צריכים להתאים אותו למלבן, וזאת אנחנו עושים באמצעות הגובה של המשולש שהוא שקול לאורך של מלבן, שמורכב מן המשולש שלנו ומעוד משולש זהה לו שמונח לצדו כשבסיסו מקביל לבסיס של המשולש שלנו. לכן הנוסחה לשטח של משולש היא הבסיס של המשולש כפול הגובה שלו לחלק לשניים. "הבסיס כפול הגובה" נותן את המלבן, וה"לחלק לשניים" נותן לנו שני המשולשים, שאחד מהם הוא זה שאת שטחו רצינו לחשב.

גם לעיגול יש רוחב (קוטר) אבל אין לו אורך.
הנוסחה לשטח של עיגול היא רדיוס בריבוע כפול פאי. הריבוע של הרדיוס הוא סוג של מלבן שבו האורך והרוחב שווים. כדי לקבל את שטח העיגול בס"מ צריך להתאים את היקף המעגל לאורך כלשהו, וזה התפקיד של פאי. מעניין שבתוספות (במסכת סוכה ח, א) מבליטים את הצורך להתאים את המעגל למלבן כהסבר לחישוב שטחו (להלן ציטוט מויקיפדיה בעברית ערך מעגל): "בתוך המעגל יוצרים בחוטים סדרה של מעגלים קונצנטריים, ממרכז העיגול ועד שפתו. את סדרת המעגלים חותכים ברדיוס שלו. יווצרו לנו חוטים רבים, כאשר הראשון הוא הכי ארוך, וכל אחד ואחד פוחת אורכו מעט מקודמו. לאחר יישור החוטים נוצר משולש שווה-שוקיים. את המשולש חותכים מהקודקוד לבסיס, ואת שני המשולשים שנוצרים הופכים ויוצרים מהם מלבן. שטח המלבן (אורך כפול רוחב) הוא שטח העיגול. למעשה הנוסחה לחישוב השטח המוצגת כאן היא היקף כפול רדיוס חלקי שתיים".



מקור האיור: ויקיפדיה בעברית ערך מעגל

יום חמישי, 27 במרץ 2014

המחשה גאומטרית לזרם של 7 4 1

מקור התמונה בערך על המספרים המחומשים בוויקיפדיה 

הנוסחה של מספרים מצולעים היא מספר הצלעות פחות שניים, ולפיכך שלוש הצלעות של המשולש פחות שניים נותנות אחד, שהוא ההפרש בין מספר טבעי למספר טבעי. סדרת המספרים המשולשים מבוססת על סדרת המספרים הטבעיים.
אבל בסדרת המספרים המחומשים
1, 5, 12, 22, 35, 51...
חמש צלעות פחות 2 נותן 3 ולכן ההפרשים בין אברי הסדרה הם
1, 4, 7, 10, 13, 16...
כלומר, 4+1 נותן את החמש, שהוא האבר השני בסדרת המספרים המחומשים, ו-7+4+1 נותן את ה-12, שהוא האבר השלישי בסדרת המספרים המחומשים.
סדרה זו של ההפרשים שבין המספרים המחומשים:
1, 4, 7, 10, 13, 16...
היא בעצם הזרם של 7 4 1 שנקרא הזרם המקורי, לעומת הזרם של 9 6 3 שבו השלוש חוזר וחוזר על עצמו, ולעומת הזרם שמעורב משני הזרמים האלה שהוא הזרם של ה- 8 5 2.


מספר משולש שאינו מתחלק בשלוש


לפי ההיגיון הישר יכולנו לנחש שכשמחלקים מספר משולש בשלוש התוצאה תהיה מספר שלם, אבל, למרבה ההפתעה, כל מספר שלישי בסדרת המספרים המשולשים איננו מתחלק בשלוש למספר שלם, וזאת בגלל שהוא מהזרם של
7 4 1:


0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,
105, 120, 136, 153, 171, 190


 מעניין שמבין המספרים המשולשים כל אחד מאלה שמתחלקים בשלוש כשמחלקים אותו לשלוש נותן מספר מחומש, או שלכל איבר בסדרת המספרים המחומשים יש איבר תואם בסדרת המספרים המשולשים שגדול ממנו פי שלוש:
1.3=3
5.3=15
12.3=36
 22.3=66
35.3=105
51.3=153
70.3=210
וכן הלאה

מספרים יכולים להופיע בצורות גאומטריות שונות


שלוש בשלישית אלה 27 נקודות, שמסודרות בצורת קובייה שיש בה שלושה ריבועים של שלוש על שלוש,זה על גבי זה, אבל ניתן לסדר אותן גם בצורת מלבן שמורכב מתשע שורות, כאשר בכל שורה יש שלוש נקודות.
את 16 הנקודות של הריבוע של 4 ניתן להציג גם כמלבן של 2 על 8, או כשורה של 16, או במעגל. היכולת של אותו מספר להופיע הן כקובייה, הן כריבוע, הן כמלבן, הן כישר והן כמעגל, שהיא, אגב, מעין הוכחה גם לריבוע העיגול וגם לעיגול הריבוע, מעידה על הגמישות של המספרים, שיכולים ללבוש ולפשוט צורות.
בנוסף, ניתן להציג את כל המספרים על משולש שווה צלעות אחד, שאותו ניתן להמשיך עד כמה שרוצים:

*
*  *
 *  *  *
*  *  *  *

משולש זה, שנקרא גם בשם "עץ המספרים", מציג, בעצם, את תוכנו של כל מספר טבעי, באופן שממחיש שכל מספר מורכב מתוכנם של המספרים שלפניו.

תצוגות שונות אלה מבליטות את תכונת האחידות של המספרים, ואת היכולת שלהם להכיל זה את זה,  יכולת שאינה מובנת מאליה כלל. אותיות, לעומת זאת, אינן נותנות עצמן לסידור בצורות גאומטריות שונות, ואינן מכילות זו את זו, למרות שבגימטריה הן ניתנות להמרה למספרים. 

יום שלישי, 25 במרץ 2014

יחס תוכן - ריבוע


תוכן הוא סכום המספרים מאחד ועד למספר המבוקש. הוא מוצג בדרך כלל כמספר משולש, או כנקודות בצורת משולש כגון

*
*   *
*   *   *
*   *   *   *

אבל ניתן לראותו גם כחלק מריבוע

 תוכנו של 9 (בירוק) בתוך הריבוע של 9

אי זוגיים
6 הוא תוכנו של 3 והוא מהווה 2 שורות בריבוע של 3
15 הוא תוכנו של 5 והוא מהווה 3 שורות בריבוע של 5
28 הוא תוכנו של 7 והוא מהווה 4 שורות בריבוע של 7
45 הוא תוכנו של 9 והוא מהווה 5 שורות בריבוע של 9
66 הוא תוכנו של 11 והוא מהווה 6 שורות בריבוע של 11
91 הוא תוכנו של 13 והוא מהווה 7 שורות בריבוע של 13


זוגיים
3   הוא תוכנו של  2  והוא מהווה את השורה הראשונה בריבוע של      3
10  הוא תוכנו של  4  והוא מהווה את 2 השורות הראשונות בריבוע של  5
21  הוא תוכנו של 6  והוא מהווה את 3 השורות הראשונות בריבוע של  7
36 הוא תוכנו של  8  והוא מהווה את 4 השורות הראשונות בריבוע של   9
55  הוא תוכנו של  10  והוא מהווה את 5 השורות הראשונות בריבוע של  11
78  הוא תוכנו של  12  והוא מהווה את 6 השורות הראשונות בריבוע של  13
105 הוא תוכנו של  14  והוא מהווה את 7 השורות הראשונות בריבוע של  15

לסיכום:
אם אנחנו מתבוננים בריבוע של מספר בתצוגה של נקודות- המספר מופיע בשורה הראשונה במאוזן. ותוכנו תופס שורות מתוך הריבוע במאונך.   באי זוגיים רואים שהתוכן הוא מלבן שנוצר מהכפלת המספר במרכזו. בזוגיים רואים שהתוכן הוא מלבן שנוצר מהכפלת חצי המספר במספר שמעליו. 

על היחס בין היקף של מעגל לבין היקפים של מעגלים אחרים



משולש שווה צלעות ניתן להקיף בשלושה משולשים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שלוש לבין צורת המשולש.
ריבוע ניתן להקיף בארבעה ריבועים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר ארבע לבין צורת הריבוע.
משושה ניתן להקיף בששה משושים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שש לבין צורת המשושה.
מעגל ניתן להקיף בששה מעגלים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שש לבין צורת המעגל, וגם אומר משהו על הדמיון שבין משושה למעגל. לאור זאת נדמה שלא לגמרי במקרה בחרו לחלק את המעגל  ל-360 מעלות שהן עשר פעמים הריבוע של שש.

זה גם אומר משהו על היחס בין היקף של מעגל לבין היקפים של מעגלים אחרים. כשחיפשו את היחס בין מעגל לבין קוטרו נתקלו בפאי, שהוא מספר קבוע, אבל אינו מספר שלם. נדמה שערבו מין (ישר) בשאינו מינו (עגול). אבל כשמקיפים מעגל בששה מעגלים, לא בחמישה ולא בשבעה, מקבלים תוצאה עגולה.


מדוע דווקא ששה מעגלים מקיפים מעגל אחד? - כי 360 לחלק ל 6 זה 60.

יום ראשון, 23 במרץ 2014

מספר משולש כמרכיב במספרים מלבניים ורבועים



מקור האיור בויקיפדיה באנגלית ערך Pronic_number
העיגולים האדומים הם מספרים משולשים: 1, 3, 6, 10

בכתבות קודמות בבלוג זה ראינו שניתן להרכיב ריבוע מהגנומונים, הבתים, המילוי המצטבר של סדרת המספרים האי זוגיים:
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
וכן הלאה

אבל ניתן להרכיב מספר בריבוע גם משני תכנים (מספרים משולשים) עוקבים. וניתן אפילו להרכיב מספר מלבני ממספר משולש כפול שניים.
תחילת סדרת המספרים המלבניים היא:
0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210,...
המספר המלבני 2, מכיל פעמיים את תוכנו של אחד
המספר המלבני 6, מכיל פעמיים את תוכנו של 2
המספר המלבני 12, מכיל פעמיים את תוכנו של 3
המספר המלבני 20 , מכיל פעמיים את תוכנו של 4

מסתבר שכשם שהמשולש הגיאומטרי בסיסי יותר מן המלבן ומן הריבוע, שאותם ניתן להרכיב ממנו, כך גם המספר המשולש (שנקרא כאן בבלוג בשם תוכן או מילוי, ואשר הוא סכום המספרים מאחד עד המספר המבוקש) בסיסי יותר מן המספרים המלבניים והרבועים. 

זוהי הוכחה לחשיבות הרבה שיש למושג התוכן בתורת המספרים. לא במקרה הטטרקטיס של הפיתגוראים (שמכיל כתוכן את עשרת המספרים הראשונים, שמהם מורכבים כל שאר המספרים) הוא מספר משולש, ולא מספר בריבוע ולא מספר מלבני.

לטענת הפיתגוראים הכל כלול בטטרקטיס, וממנו ניתן ללמוד את הכל, כולל את תורת המספרים.


תופעה שמתחרה בטטרקיס של הפיתגוראים, שלפיו העשר מורכב מארבעת המספרים הראשונים
1+2+3+4=10
היא שהעשר מורכב משלשת המספרים המשולשים הראשונים
1+3+6=10
וזאת כאשר אחד (שהוא התוכן של המספר הראשון) הוא חלק מ-3 ו-3 (שהוא התוכן של המספר השני) הוא חלק מ-6, כלומר המשולשים של האחד ושל השלש חבויים במשולש של השש שהוא בעצם התוכן של המספר שלש. 

זוהי עוד עדות לחשיבות תוכנם של המספרים.  

מספר משולש שהוא גם מספר מרובע

החנוכייה של דבורית בן שאול

הרב גינצבורג  מקשר בהרצאה בפני ילדי בית ספר יסודי בפילדלפייה בין מספרים משולשים שהם גם מספרים בריבוע לבין מספרי הימים של חנוכה וספירת העומר.
אחד הוא גם מספר משולש וגם מספר בריבוע.
36 הוא המספר המשולש של 8, והוא גם הריבוע של 6 - וזהו מספר הנרות שאנו מדליקים בחנוכה (בלי השמש).
1225 הוא המספר המשולש של 49, והוא גם הריבוע של 35.

בין 36 לבין 1225 אין עוד מספר משולש שהוא גם ריבוע.

יום שבת, 22 במרץ 2014

מבט חדש על הריבוע הזוגי

בכתבה הקודמת ("מבט חדש על התוכן של מספר אי זוגי") הראיתי שהריבוע של מספר אי זוגי מורכב מן המספר הנדון בשורה האמצעית כשהוא מוקף בשני מלבנים שמציגים את תוכן המספר שמתחתיו. גם הריבוע הזוגי מורכב מן המספר הנדון בתוספת שני מלבנים שמציגים את תוכן המספר שמתחתיו, אלא שהפעם הם אינם מקיפים אותו אלא נמצאים מעליו. הנה כך:

28+28+8=64=8.8

התוכן של 1 הוא אחד שהרי הריבוע שמעליו (4) פחות השורה האחרונה שלו (2) לחלק ל-2 נותן אחד

התוכן של 2 הוא
9-3:2=3

התוכן של 3 הוא
16-4:2=6

התוכן של 4 הוא
25-5:2=10

התוכן של 5 הוא
36-6:2=15

התוכן של 6 הוא
49-7:2=21

התוכן של 7 הוא
64-8:2=28

וכן הלאה



מבט חדש על התוכן של מספר אי זוגי



בחיי היום יום מספרים סופרים דברים: כסף, כמויות של מים במונה המים, משקל של עגבניות בחנותו של הירקן, אבל תוכן של מספר עניינו בספירת מספרים, ובכך הוא ממחיש היטב את סוג ההתבוננות במספרים שבה אנו עוסקים בבלוג זה.
באריתמטיקה, וגם בתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא, רגילים להמחיש את סכום המספרים מאחד עד המספר המבוקש בצורת משולש.
מדוע משולש? אולי בגלל ההשפעה העצומה שהייתה לטטרקטיס של הפיתגוראים, שהציג את תוכנו של ארבע, את עשרת המספרים הראשונים, בצורת משולש

*
*  *
*   *   *
*  *   *   *

 ואולי, כמו שמסבירים בויקיפדיה, בגלל שניתן לסדר כל מספר משולשי בצורת משולש, אלא שהסבר זה נשמע לי מעגלי.
הסבר שיותר מתקבל על דעתי הוא שתוכנו של מספר מורכב מזוגות של מספרים. חיבור של כל זוג שכזה  נותן את המספר. וכך, תוכנו של המספר 9 מורכב מארבעה זוגות של מספרים:
1+8=9
2+7=9
3+6=9
4+5=9


אם קוראים מספרים אלה במאונך רואים ש 1-4 יורדים כלפי מטה, 9-5 עולים כלפי מעלה. ואם נתבונן על המשולש שמציג את תוכנו של תשע ראו באיור שמופיע בראש הכתבה) נראה בשורה הראשונה נקודה אחת ולפני האחרונה 8 נקודות. נחבר אותן יחד ונקבל תשע נקודות. וכך נעשה עם השורה השנייה (2) והשורה של 7, עם השורה השלישית ועם השורה של שש, עם השורה הרביעית ועם השורה של חמש.
נקבל מלבן שאורכו 9 רוחבו 4 ושטחו 36, שהוא המילוי של שמונה, שאליו אנו מוסיפים את התשע לקבלת התוכן של תשע שהוא 45, שמורכב, לפי תצוגת המלבן הזאת, מחמש תשיעיות.
על מנת להשלים את התצוגה הזאת לריבוע, כלומר לתשע תשיעיות, עלינו להוסיף מתחת לחמש התשיעיות האלה עוד ארבע תשיעיות, שהן, שוב המילוי של שמונה.  כלומר, הריבוע של מספר אי זוגי מורכב מן המספר בשורה האמצעית כשהוא מוקף בשני מלבנים שמציגים את תוכן המספר שמתחתיו. וכך:



5 באמצע. מעליו ומתחתיו 10, שהוא המילוי של 4

יום שישי, 21 במרץ 2014

X כמספר הזוגות שמרכיבים מספר



המספרים מורכבים מאחדים: 1+1=2, 1+1+1=3, וכן הלאה.

חלק מהמספרים מורכבים מעצמם (המספר "ועוד עצמו"):
1 מופיע פעם שניה ב-2, ופעם שלישית ב-3
2 מופיע פעם שניה ב-4, פעם שלישית ב-6, ופעם רביעית ב-8
3 מופיע פעם שניה ב-6, ופעם שלישית ב-9

המספרים מורכבים מזוגות, ומספר הזוגות הוא כמספר האגף של כל  מספר (X), שהוא מחצית המספר הזוגי, או המספר האי זוגי פחות אחד חלקי שנים. לפיכך ניתן לפרש את  Xכמספר הזוגות שמרכיבים מספר.
מספר הזוגות שמרכיבים את 1 הוא אפס, וזה גם ה-X של 1 
מספר הזוגות שמרכיבים את 2 הוא אחד: (1+1) וזה גם ה-X של 2 
מספר הזוגות שמרכיבים את 3 הוא אחד: (2+1) וזה גם ה-X של 3 
מספר הזוגות שמרכיבים את 4 הוא שנים: (3+1, 2+2) וזה גם ה-X של 4
מספר הזוגות שמרכיבים את 5 הוא שניים: (2+3,  4+1) וזה גם ה-X של חמש
מספר הזוגות שמרכיבים את 6 הוא שלש: (5+1, 4+2, 3+3) וזה גם ה-X של 6
מספר הזוגות שמרכיבים את 7 הוא שלש: (3+4, או של 1+6, או של 2+5) וזה גם ה-X של 7
מספר הזוגות שמרכיבים את 8 הוא ארבע: (7+1, 6+2, 5+3, 4+4), וזה גם ה-X של 6
מספר הזוגות שמרכיבים את 9 הוא ארבע: (8+1, 7+2, 6+3, 5+4), וזה גם ה-X של 9

וכן הלאה
***
אבא בגימטריה 4 (א=1, ב=2, א=1)
אמא בגימטריה 6 (א=1, מ=4, א=1)
ביחד 10
בן בגימטריה 10=5.2 (ב=2, נ=5)
הבן הוא החמש שבין האבא לאמא, בין ה 4 ל- 6.
חמשת הזוגות שמרכיבים את העשר הם
1+9
2+8
3+7
4+6 (אבא אמא)

5+5 (בן)

מאה אלף 32 פעמים


במקום לכתוב
3,200,000
כתבו הרומים את המספר מאה אלף 32 פעמים על עמוד ניצחון ברומא שנבנה לזכר קרב שבו ניצח Gaius Duilio
את צי קרתגו בשנת 260 לפנה"ס. המספר הנ"ל מציין את ערך השלל שהביא Gaius Duilio
לאחר הניצחון.  

מקור:

http://it.wikipedia.org/wiki/Colonna_rostrata_di_Gaio_Duilio

יום חמישי, 20 במרץ 2014

הטטרקטיס מקורו והשפעותיו



לא קראתי את זה בשום מקום, אבל נדמה לי שמקורו של הטטרקטיס הפיתגוראי בשיטה העשרונית, כי אם נסדר בצורת משולש את האחד בשורה הראשונה, את העשר בשנייה, את המאה בשלישית ואת האלף ברביעית  - נקבל את הצורה או את הרעיון הבסיסי של הטטרקטיס. הנה כך:



מנקודת מבט זו ניתן  לראות עד כמה הטטרקטיס מושפע מן ההמצאה המופלאה של שיטת מיקום-ערך, שהקדימה באלפי שנים את הפיתגוראים. אמנם הפיתגוראים לא הכירו את האפס ולא יכלו לתאר לעצמם את הצורה כפי שהיא מופיעה כאן, אבל גם אצלם העשר בא אחרי ה-9, המאה אחרי ה-99, והאלף אחרי ה-999.
בטטרקטיס בצורתו הפשוטה ביותר עדיין אין שוני בערך של האחדים שמופיעים בשורותיו השונות:

1
11
111
1111

אבל אפלטון, שחי כמאתיים שנים אחרי פיתגורס, כבר עיבד את הטטרקטיס ללמבדה (שבה מוצגים רק שמונה מעשרת המספרים של הטטרקטיס) כאשר בטור האחד -  החזקות של שניים: 1, 2, 4, 8 , ואילו בטור השני - החזקות של שלש: 1, 3, 9, 27.
תיאון מסמירנה, בן המאה הראשונה לספירה, סיכם אחד עשר פירושים לטטרקטיס, וביניהם מופיע גם הפירוש הנ"ל של אפלטון. רובם עוסקים במשמעויות של הטטרקטיס  (כמו: ארבע עונות השנה, ארבעת היסודות, ארבע תקופות בחיי אדם) אבל שניים מהם "מתרגמים" את הטטרקטיס לגיאומטרית: לפי הפירוש הראשון האחד הוא נקודה, השניים- קו, ה-3 שטח, ה-4 נפח. לפי הפירוש השני כל שורה בטטרקטיס מייצגת אחד מן הגופים האפלטוניים.
במשולש שנקרא על שם בלייז פסקל, בן המאה ה 17 (שהיה ידוע כבר להודים במאה השלישית, לעומר כיאם בן המאה ה-11, ולסינים במאה השלוש עשרה - ראו בול לעיל)  מופיעות החזקות של 11:
11
121
1331

וכן הלאה

יום רביעי, 19 במרץ 2014

שובל של מספרים- פרק ב



שמח ומבדח עם רעשן שמעשן ונושף מספרים.
הפתעה:
   התגלה שזו בעיה פתוחה בתורת המספרים, על שם קולץ
מאת חיליק ואו פתוח

יש לפתע הפתעה מרתקת בעולם שנפתח לנו, עולם "הרעשן שמעשן מספרים".
סיפרתי עליו לידידי המתמטיקאי (לא הפרופסור) והוא צחק ואמר "חיליק , עלית על בעיה פתוחה וידועה במתמטיקה, או יותר נכון בתורת המספרים, שנקראת הבעיה הפתוחה של קולץ" .
[ראו: ויקיפדיה ערך השערת קולץ]
בעיה פתוחה זו מילה מכובדת ביותר. זה אומר שזו בעיה שעבדו ועבדו ועבדו עליה, ועדיין לא מצאו את פתרונה.
יש צרור של בעיות כאלו, וחלקן העסיקו את מיטב המוחות המתמטיים בכל הדורות...

קולץ, בשנות השלושים של המאה הקודמת, גם שיחק כמוני עם "הרעשן שמעשן ונושף מספרים" ומסתבר שהוא לא מצא, ואף אחד עד היום לא מצא, שובל שלא, אחרי כל התהליך שלמדנו אותו, מסתיים ב-1. זה הביא אותו להכריז על הבעיה הזו כבעיה פתוחה.

הבעיה הפתוחה של קולץ בשפה שלנו: האם יש שובל שנוצר ע"י רעשן מעשן שלא מסתיים בספרה 1

שלב ב:  לרעשן שמעשן ונושף מספרים
השובל של 27


בחיפושי מצאתי גרף מעניין שמתאר את ה'רעשן המעשן' שמייצר את השובל הארוך ,שרמזתי עליו ושעכשיו אפשר לגלות לכם, של   27 .
 שובל זה אורכו 111   והוא 'מטפס' ומגיע  , ל'גובה' של 9232

הנה השובל עצמו – עשן המספרים של ה 27:  

 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1


התבוננות:

א  השיא של השובל של 27 הוא  9232

ב. השיא השני  7288

ג . שאלה: יש עוד שיאים?

נסתכל על הגרף הבא שמתאר את השיאים השונים של השובל של 27

בציר האופקי מופיעים המספרים ה 1 עד 111 והציר האנכי המספרים שהרעשן יצר:




ממש מרתק הגרף הזה.  ניתן תאור ראשוני שלו:
1. בסביבות ה 80 על הציר האופקי מתנשאת פסגה שאנו יודעים כבר שהיא  ה 9232
2. בין 60 ל 70 מתנשאת הפסגה השנייה , השיא השני,  7288. וכן שיא שלישי צנוע בסביבות 40
3. סביב שתי הפסגות הנבדלות האלו מתגלים (אנו במסע, מסע של גילויי הארץ הזאת שהתגלתה לנו) למעלה מ 30  פסגות. כל הפסגות ה'מרוחקות' זו מזו שוות. בערך 'מרחק' של יחידה. תמונה של תנודות


ד.  מעניין להתבונן בגרף ואח'כ בעשן המספרים של ה27. אלו שתי הצגות שונות של אותו שובל:
     שאלה: איזה הבדל אתה רואה, חש, קולט הן בראיה ישירה והן באופן הגיוני (ראייה לא ישירה)
בין שתי ההצגות האלו?
קל לראות ששתי ההצגות האלו  מאד שונות זו מזו.
ההצגה המספרית מבליטה את 'העשן', לא נראה כל סדר.
ההצגה הגרפית מגלה  סדר. מבנה עם 3 פסגות עטופות בפסגות משנה ותנודתיות, יש קליטה ברורה יותר של התחלקות המספרים .

אגב המספר  111  בגימטריה הוא פלא


נחמד


כל השיאים של השובל של 27 , בצמצום שלהם, הם, לא ברור לי למה, מהזרם של 1 4 7 - יותר שביעיות ופחות רביעיות, וללא אחד:

שיא         צמצום
124              7
142               7
214               7
322               7
484               7
364               4
274               4
412               7
310               4
466               7
700               7
526               4
790               7
1186             7
1780             7
1336             4
502               7
754               7
1132             7
850               4
1276             7
958               4
1438             7
2158             7
3238             7
4858             7
7288          7
2734             7
4102             7
 6154            7
9232         7
1732             4
1300             4
976             4
184             4
70               7
106             7
160             7
16               7


סה"כ:
24 שביעיות
רביעיות