מספרים
משולשים הם מספרים שניתן לסדר כנקודות בצורת משולש שווה-צלעות. הנה כך
*
* *
מדובר
בסדרה אינסופית שאבריה הראשונים הם:
1; 3; 6; 10;
15 ;
21;
28;
36;
45;
55;
66;
78;
91;
105;
120;
136; 153;
כל מספר משולש כפול שמונה
ועוד אחד יוצר ריבוע. נוסחה זו מובאת ללא הסבר בסעיף 38 בספר הרביעי על האריתמטיקה
מאת דיופנטס מאלכסנדריה, בן המאה השלישית לספירה. היא גם מוזכרת ללא הסבר אצל
פלוטרך בן המאה השלישית לספירה.
לגבי
מספרים זוגיים ההסבר הוא שכל ריבוע מתחלק לשני מלבנים, שכל אחד מהם מתחלק לשני
משולשים ישרי זווית. כלומר בריבוע יש ארבעה משולשים ישרי זווית שאורך הבסיס שלהם
הוא חצי מהצלע של הריבוע, והגובה שלהם מקביל לצלע ולכן שווה לה.
לגבי
מספרים אי זוגיים ההסבר הוא שהריבוע מורכב ממכפלת המספר שמתחתיו עם המספר שמעליו
ועוד אחד.
לדוגמה,
אם מורידים אחד מהריבוע של 3 (שהוא 9), ומחלקים את התוצאה (8) לשתים מקבלים שתי
שורות של ארבע נקודות. שתי השורות ממחישות את המספר שמתחת לשלוש, וארבע הנקודות
שבכל אחת מהן ממחישות את המספר שמעל לשלוש.
הנה
הריבוע של שלוש:
. . .
. . .
. . .
והנה
הוא אחרי שהורדנו אחד מהשורה השלישית והוספנו את אבריה לשורות שמעליה
. . . .
. . . .
אם
נתבונן בטור של דיופנטס שמורכב מכפולות של שמונה
נראה שהוא בעצם זהה לטורים שמתקבלים מחלוקה לארבע, כפי שהסברתי זה עתה.
(1.8)+1=9=(2.4)+1
(3.8)+1=25=(6.4)+1)
(6.8)+1=49
(10.8)+1=81
(15.8)+1=121=(10.12+1)
(21.21)+1=441=(20.22)+1
וכן הלאה.
לקשר שבין מספר משולש לבין
ריבוע יש חשיבות מיוחדת בגלל שמספר משולש
הוא התוכן של מספר, או הסכום של המספרים מאחד ועד אליו.
וכך התוכן של 2 הוא שלש
*
* *
והתוכן של שלש הוא שש
*
* *
* * *
http://shem-mispar.blogspot.co.il/2013/12/blog-post_13.html
Thomas Heath מעיר בעמוד 126 בספרו
Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, 1910
שהמשפט שהסכום של שני מספרים משולשים עוקבים
נותן ריבוע מופיע כבר אצל תיאון וניקומאכוס
בני המאה הראשונה.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה