יום שבת, 24 בדצמבר 2016

סכום המספרים הזוגיים

מספר משולש מבטא את סכום המספרים הטבעיים: 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 וכן הלאה

*
*   *
*   *   *
*   *   *   *

אם לוקחים את אותו רעיון ובונים לפיו את סדרת המספרים הזוגיים
2,4,6,8...

*  *
*  *  *  *
 *  *  *  *  *  *
   *  *  *  *  *  *  *  *

רואים ששש מורכב משני האברים הראשונים
2+4=6
בדומה לזה שהוא מורכב משלושת האברים הראשונים של הסדרה של המספרים הטבעיים:
1+2+3

ששתים עשרה הוא סכום המספרים הזוגיים עד (וכולל) שש
2+4+6=12

שעשרים הוא סכום המספרים הזוגיים עד (וכולל) שמונה
2+4+6+8=20

ששלושים הוא סכום המספרים הזוגיים עד (וכולל) עשר
2+4+6+8+10=30


ושצורת סכומי המספרים הזוגיים היא צורה של טרפז, במקביל לזה שצורת סכומי המספרים הטבעיים היא צורה של משולש

יתרון התצוגה הגרפית של המספרים כנקודות



כאשר מתבוננים בתצוגה המספרית של 6, היחסים של מרכיביו אינם גלויים לעין. לעומת זאת כאשר מתבוננים בתצוגה הגרפית שלו כנקודות מיד רואים שהוא:
1. מורכב מששה אחדים שהם שווי ערך, שהוא בעצם שש פעמים אחד:
במאוזן:
******
או במאונך:
*
*
*
*
*
*

2. שהוא מספר זוגי, שהוא בעצם שלש פעמים שתיים, או שהוא מורכב משלושה זוגות:
**
**
**
3. שהוא מורכב מחמש ועוד אחד:
*****
*
. שהוא מורכב מארבע ועוד שניים:4
****
**
5. שהוא מורכב משתי שלשות:
***
***
6. שהוא מורכב משניים ועוד ארבע:
**
****
7. שהוא מורכב מאחד ועוד חמש:
*
*****

8. שהוא מספר משולש:
*
*    *
*    *    *

אבל החסרון של התצוגה הגרפית של המספרים כנקודות הוא שמסורבל לראות באותה בהירות את מרכיבי המספרים הגדולים.


הנקודה בצורות והאחד במספרים הם שני צדדים של אותו דבר: המניע הבלתי מונע: הנקודה יוצרת את כל הצורות והאחד יוצר את כל המספרים.  קל יותר להסביר את ראשוניותה של הנקודה, כי היא לא נשברת לשברים, וגם אי אפשר לחשוב על נקודות שליליות.

יום חמישי, 3 בנובמבר 2016

המעבר מצורה לצורה

במספרים אנחנו יכולים לעבור ממספר למספר באמצעות הוספת אחד. כך נעשה האחד לשניים, השניים לשלוש, השלוש לארבע וכן הלאה.
1+1=2
2+1=3
3+1=4...

בצורות, כמו מצולעים משוכללים, אנחנו יכולים לעבור ממצולע למצולע באמצעות בניית מצולעים זהים על כל צלעותיו של המצולע. בשיטה זו נוספים למצולע הראשון, המשולש, שלושה משולשים והוא הופך להיות לצורה שמכילה ארבעה משולשים זהים, הריבוע הופך לצורה שמכילה חמישה ריבועים, המחומש הופך לצורה שמכילה ששה מחומשים, וכן הלאה.


אם אנחנו בונים משולשים על צלעות הריבוע אנחנו מקבלים ריבוע שחסום בריבוע.




אם אנחנו בונים משולשים על צלעות המחומש אנחנו מקבלים פנטגרמה.


אם אנחנו בונים משולשים על צלעות המשושה אנחנו מקבלים מגן דוד.



הסבר נוסף לספירה המצומצמת של הגימטריה

בספירה המצומצמת של הגימטריה עשר ערכו אחד, אחד עשרה ערכו שניים וכן הלאה. בדרך כלל מסבירים שהסיבה לכך היא הגלגול של המספר, כלומר, הוספת תשע שוב ושוב לאחת מתשע הספרות הראשונות. כך לדוגמה:
1+9=10 [10=0+1=1]
19=1+9=10=1
28=2+8=10=1
37=3+7=10=1...
2+9=11; 11= 1+1=2
3+9=12; 12=1+2=3
ההסבר האחר הוא שעשרה מטבעות של שקל אחד ערכן שווה למטבע אחת של עשרה שקלים.
כאשר מחברים מטבע של עשרה שקלים ומטבע של שקל אחד סכום המטבעות הוא שניים בלי קשר לערכן. וכן הלאה:
מטבע של עשרה שקלים ושני מטבעות של שקל אחד סכום המטבעות הוא שלושה בלי קשר לערכן.

מטבע של עשרה שקלים ושלשה מטבעות של שקל אחד סכום המטבעות הוא ארבעה בלי קשר לערכן...

יום שני, 3 באוקטובר 2016

הנקודה הקו והמרחב

המרחב מורכב משלושה ממדים: אורך, רוחב ועומק. ממדים אלה צורתם צורת קו, וניתן למדוד אותם באמצעות מספרים. אותו קו שמשמש בתפקיד של אורך יכול לשמש גם בתפקיד של רוחב או עומק. במילים אחרות: שלושת הממדים אינם אלא דבר אחד שיש לו שלושה שמות. כדי לבנות גוף הנדסי דו ממדי או תלת ממדי, כמו ריבוע וקובייה, די לנו בקו, אבל כדי לבנות עיגול אנחנו חייבים להשתמש גם בנקודה, שעליה נעמיד את אחת מרגלי המחוגה. הנקודה מופיעה אמנם בגופים ההנדסיים בעלי הצלעות הישרות, אבל היא מופיעה בהם כתוצאת לוואי של מפגשי הקווים ולא כמרכיב חיוני בבנייה. 


הפיתגוראים ייחסו חשיבות רבה לתפקיד של הנקודה ושל הקו בבריאת העולם. הם הכינו לעצמם מעין לוגו שנקרא טטרקטיס, שבו הם נשבעו. היו בו עשר נקודות מסודרות בארבע שורות, שיצרו צורה של משולש. בשורה הראשונה - נקודה אחת, בשנייה- שתיים, בשלישית - שלוש, וברביעית - ארבע:

*
*   *
*   *   *
*   *   *   *

הפיתגוראים התייחסו אל תשע הנקודות שמתחת לקדקוד הטטרקטיס בתור שלושת הממדים.  
שתי הנקודות ייצגו את האורך, שלוש הנקודות את האורך והרוחב (אורך ורוחב יוצרים שטח)
ארבע הנקודות את האורך הרוחב והעומק (שיוצרים נפח כאשר נקודה אחת תלויה מעל לשלוש הנקודות האחרות). ראוי לציין שהנקודה שבקדקוד הטטרקטיס כבר יוצרת משולש עם שתי הנקודות שמתחתיה, ודי בנקודה זו ביחד עם עוד נקודה כדי לשרטט עיגול.

גם חכמי הקבלה הדגישו את התפקיד המרכזי של הנקודה ושל הקו בבריאת העולם: בספר יצירה מוזכרים ששה כיוונים, שיוצרים את החלל התלת ממדי, ובמרכזם נקודה שמאחדת אותם. לכל קו יש שני כיוונים משלו: "... מעלה ומטה, מזרח ומערב, צפון ודרום... והיכל הקודש מכוון באמצע והוא נושא את כולם" (פרק ד, משנה ד'). כלומר, המרחב מורכב משלושה קווים שיש להם ששה כיוונים, ובמרכזו של המרחב יש נקודה אחת שמאחדת את ששת הכיוונים של שלושת הקווים, שהם, כאמור לעיל, קו אחד.
וכך גם בזוהר: בראשית היא נקודה שנקראת ראשית (דף טו ע''א), שהתפשטה לכל הכיוונים בצורת קו: "ויֹּאמֶר אלֹקִים יקָּווּ המַּיִם וְגו' בְּאֹרַח קַו לְמֶהֱוֵי בְּאֹרַח מֵישָׁר" (דף יח ע''א).





יום שישי, 23 בספטמבר 2016

מדוע החמיצו הפיתגוראים את גילויו של האפס

האפס נתגלה על ידי ההודים כאלף שנה אחרי אוקלידס שחי במאה השלישית לפנה"ס, כמאתיים שנה אחרי פיתגורס. אבל בשפת המספרים נובע מן ההגדרה של אוקלידס שלפיה "קו הוא אורך חסר רוחב" שרוחבו של הקו הוא אפס. הפיתגוראים, שספרו של אוקלידס, "יסודות", התבסס על הישגיהם, "תרגמו" את האחד לאבן אחת, את השניים לשתי אבנים וכן הלאה, או שציירו אותם על האדמה כנקודות. אבל את הקו הם לא יכלו לצייר על האדמה בלי רוחב, ולכן, ככל הנראה, למרות שהמציאו את ההגדרה, לא המציאו את האפס. אני יודע זאת מפני שזה קרה גם לי. תמיד ציירתי את הקו עם רוחב כלשהו, ואפילו אם ציירתי אותו עם עפרון מחודד מאד.
המילה גיאומטריה מורכבת משתי מילים יווניות שאנו מתרגמים למדידת הארץ. הסיבה המשוערת לכך היא שמדע זה התפתח בעקבות מדידת נחלאות לאורך הנילוס באמצעות חבל. היוונים הפכו את החבל הגשמי, בעל האורך הרוחב והנפח, לקו כאשר הפשיטו ממנו שניים מתוך שלושת ממדיו, והפכו אותו למושג שכלי שאותו לא ניתן לחוות באמצעות חוש הראייה.
מהגדרה זו של אוקלידס, שלפיה "קו הוא אורך חסר רוחב", נובע גם שאורכה של הנקודה הוא אפס, ושעוביו של השטח הוא אפס.
מהגדרה זו נובע גם שלא ניתן להניח נקודות זו לצד זו וליצור מהן קו, ושלא ניתן להניח שטחים זה על גב זה וליצור מהם נפח [1].
בריבוע של השניים יש ארבע צלעות, שהן קטעים מקו חסר רוחב, שמקיפים שטח של ארבע יחידות, ולא חשוב מה גודלן בסנטימטרים, או במטרים , או בקילומטרים. הקו המקיף הזה אינו מוסיף אפילו מילימטר לשטח שהוא כולא.
וכך גם לגבי הנפח. הוא כלוא בקווים חסרי רוחב שאינם מוסיפים לו אפילו מילימטר.
גם כשמחלקים קו לשניים מתקבלים ממנו שני קוים, שלא ניתן לראות בקצותיהם אף נקודה. רק לצורך הנוחיות שלנו אנחנו מסמנים את קצות הקווים באמצעות קו קטנטן, הנה כך:
|______________|


===
 הערה:
[1] 

וכך גם סבור רבי משה קורדובירו:

"ואומרו שהוא [הנקודה] סוף הקו אינו מוסכם בין בעלי התכונה. כי יש אומרים ששתי נקודות או יותר קיבוצם יעשה קו. ויש אומרים כי אפילו יקובצו כל הנקודות שבעולם לא יעשה הקו [מ]אחר שהנקודה אין לה אורך כלל אי אפשר שיתהווה על ידה האורך". (פרדס רמונים, ב, א)

[2]
מנקודת מבט אחרת ניתן לומר שבגלל שאצל הפיתגוראים לא היה הבדל בין מתמטיקה לגאומטריה, ומאחר שבגאומטריה הפיתגוראים הבינו היטב שלנקודה יש אורך אפס ורוחב אפס, ושלקו יש רוחב אפס - הרי שהמצאת האפס היא המצאה יוונית שקדמה בכאלף שנים להמצאה ההודית

יום שני, 19 בספטמבר 2016

הכבוד האבוד של הפיתגוראים

כאשר אריסטו ביקר את טענת הפיתגוראים שהכל מספר [1], הוא התעלם מהחלק הגיאומטרי של שיטתם  והציג אותה כשיטה מספרית. המספרים של משפט פיתגורס (3, 4, 5) ידידותיים פחות לחוש הראייה מן התצוגה הגיאומטרית של המשולש שעל כל צלע שלו בנוי ריבוע. הצגה לא גיאומטרית של טענת הפיתגוראים שהכל מספר היא הצגה מעוותת. בגלל שאריסטו היה בעל השפעה מכרעת על הפילוסופים שבאו אחריו זלזלו אף הם בטענת הפיתגוראים שהכל מספר.

בגיאומטריה של אוקלידס, שמסכמת מאות שנים של מחקרי הפיתגוראים, הקו אינו נמדד בסנטימטרים. ניתן לצייר את משפט פיתגורס על הדף, בכל גודל שנרצה, או לבנות אותו מאבנים בגודל של קילומטרים על פני מדבר סהרה כדי שיראו אותו החייזרים, והוא יהיה נכון בלי כל קשר לגודלו, אם הפרופורציות בין חלקיו נכונות.

הבעיה של האי רציונליות של שורש שניים היא בעיה מספרית ולא בעיה גיאומטרית. ניתן לבנות יתר למשולש שאורך ניצביו הוא אחד. לא ניתן לחשב את אורכו במספרים שלמים. גילוי המספרים האי-רציונלים מיוחס לפילוסוף היווני היפאסוס, בן האסכולה הפיתגוראית, שחי במאה החמישית לפנה"ס. האגדה מספרת שנענש בטביעה, אבל לדעתי מי שהמציא את האגדה הזאת התייחס לאריסטו ולדומיו, שלא הקפידו על ההצגה הגיאומטרית של השיטה הפיתגוראית. חשוב גם לזכור שהפיתגוראים נדרו נדר של שתיקה ביחס לסודותיהם, נדר מוצדק אחרי שנוכחים לדעת איך אפשר לעוות את גילוייהם.

ההפרדה בין הגיאומטריה לבין המספרים התרחשה אחרי הפיתגוראים. הפיתגוראים חקרו את המספרים ואת הגיאומטריה כמקשה אחת. הם היו מסדרים חלוקי אבן קטנים בצורות גיאומטריות בחול ואלה היו המספרים. המספר עשר, שבו נשבעו הפיתגוראים היה עשר אבנים שכאלה, מסודרות בארבע שורות.

*
*    *
*    *    *
*    *    *    *

בראשונה הייתה אבן אחת, בשנייה שתיים, בשלישית שלוש, ברביעית ארבע. האבן האחת ייצגה את הנקודה ואת המספר אחד. שתי האבנים ייצגו את הקו ואת המספר שנים. שלש האבנים ייצגו את השטח ואת המספר שלוש. ארבע האבנים ייצגו את הנפח ואת המספר ארבע.

מבחינה גיאומטרית העולם אכן בנוי ממספרים:  מדובר  במרחב תלת ממדי. כל גוף בו הוא תלת ממדי. אין במרחב יותר משלושה ממדים. כאשר מפשיטים מגוף שכזה את משקלו מגלים שהוא מורכב משטחים שמגובבים זה על זה. כאשר מפשיטים ממנו את הנפח מגלים שהשטח מורכב מקווים שמגובבים זה על זה. כאשר מפשיטים ממנו את השטח מגלים שהוא מורכב מנקודות שמגובבות זו על גבי זו.

ניתן לתאר את מבנה העולם גם מהכיוון ההפוך: הנקודות יוצרות קווים, הקווים יוצרים שטחים, השטחים יוצרים נפחים, והנפחים בעלי המשקל יוצרים גופים. השורה התחתונה היא שהעולם עשוי מנקודות. הנקודה היא אחת, ולא ניתן לחלק אותה לחלקים. בשפה היוונית מה שלא ניתן לחלוקה נקרא אטום. כאשר הפילוסוף היווני דמוקריטוס ( 460- 370 לפנה"ס) טען שהעולם מורכב מאטומים הוא ניסח בעצם את התפיסה הפיתגוראית במילים אחרות. כיום אנחנו יודעים שהעולם מורכב מאטומים, ושלא רק שהפיתגוראים צדקו אלא שהם גם ראו זאת לפני למעלה מאלפיים שנים.  

הערה:
[1] אריסטו, "מטפיסיקה" 986 א



יום ראשון, 18 בספטמבר 2016

השפעת הפיתגוראים על עשר הספירות

קורא בן זמננו המנסה להבין מה הן עשר הספירות הנידונות בספר יצירה [1] מתקשה להבין מה הקשר בין שש הספירות האחרונות המפרטות את הכיוונים האפשריים ("עומק רום ועומק תחת, עומק מזרח ועומק מערב, עומק צפון ועומק דרום") לבין שתי הספירות הראשונות ("עומק ראשית ועומק אחרית") שנדמה לו שהן עוסקות בזמן, לבין שתי הספירות שלאחריהן שנדמה לו שהן עוסקות במוסר ("עומק טוב ועומק רע"). אבל מי שמכיר את הפיתגוראים מבין שכל עשר הספירות מופיעות בספר יצירה במונחים גיאומטריים:
שש הספירות האחרונות מתייחסות לגוף תלת ממדי, כגון חדר, שיש לו ארבעה קירות תקרה ורצפה.
שתי הראשונות מתייחסות לעיגול שסופו נעוץ בתחילתו [2].
שתי הספירות שלאחריהן מתייחסות למלבן  שמייצג את המספרים הבלתי מוגבלים ולריבוע שמייצג את המספרים המוגבלים.
הזיהוי של הטוב והרע עם הריבוע והמלבן עולה מטבלת הניגודים של המספרים לפי שיטת הפיתגוראים שמביא אריסטו בספרו "מטפיסיקה" (986 א) [3]:
  1. המוגבל ושאינו מוגבל
  2. אי-זוגי וזוגי
  3. אחדות וריבוי
  4. ימין ושמאל
  5. זכר ונקבה
  6. מנוחה ותנועה
  7. ישר ועקום
  8. אור וחושך
  9. טוב ורע
  10. ריבוע ומלבן
בהסברים לעקרונות אלה טענו הפיתגוראים [4]:
שהמוגבל טוב ושאינו מוגבל - רע, שהרי "המוגבל", הזכר, האי זוגי, אינו ניתן לחלוקה לשני מספרים שלמים, ולעומתו "שאינו מוגבל",הנקבה, הזוגי, ניתן לחלוקה שוב ושוב...
=
הערות:
[1]
"עשר ספירות בלימה מדתן עשר שאין להם סוף, עומק ראשי"ת ועומק אחרי"ת, עומק טו"ב ועומק ר"ע, עומק רו"ם ועומק תח"ת, עומק מזר"ח ועומק מער"ב, עומק צפו"ן ועומק דרו"ם" (ספר יצירה, משנה ד)

[2]
"עשר ספירות בלימה מדתן עשר שאין להם סוף, נעוץ סופן בתחילתן ותחילתן בסופן כשלהבת קשורה בגחלת. שאדון יחיד הוא ואין שני לו. ולפני אחד מה אתה סופר" (ספר יצירה, משנה ו).

[3]

[4]
הפיתגוראים קראו לאחד, בין היתר, בשם אפולו (אל האור, שהיה מזוהה בתרבות היוונית העתיקה עם הטוב) ולשניים הם קראו, בין היתר: חושך ורע.
מקור:
The Secret Teachings Of All Ages, by Manly P. Hall, 1928 pp. 71-72

פרק בשם: "המספרים של פיתגורס - פרפרזה על כתביהם של תיאון מסמירנה, ניקומכוס, פרוקלוס, פורפירי, פלוטרכוס, קלמנט מאלכסנדריה, אריסטו, וברי סמכא קדומים אחרים".

יום שני, 5 בספטמבר 2016

פילון האלכסנדרוני אודות המספר שבע


פילון האלכסנדרוני (בערך 15 לפנה"ס עד בערך 45 לספירה) כתב מאמר נרחב על פלאיות המספר שבע ובתוכו כלול המראה הבא: 

מיקום
1
2
3*
4**
5
6
7***
x2
1
2
4
8
16
32
64
x3
1
3
9
27
81
243
729
x4
1
4
16
64
256
1024
4096
x5
1
5
25
125
625
3125
15625

הערות:
* במקום השלישי יהיה תמיד ריבוע
** במקום הרביעי יהיה תמיד מספר מעוקב
*** במקום השביעי יהיה תמיד ריבוע שהוא גם מספר מעוקב: 
64 הוא ריבוע של 8 ומעוקב של 4
729 הוא מעוקב של 9  וריבוע של 27
4096 הוא ריבוע של 64 ומעוקב של 16
15625 הוא ריבוע של 125 ומעוקב של 25 

מקור:
Horst R. Möhring, ‘Arithmology as an Exegetical Tool in the Writings of Philo of Alexandria’, Society of Biblical Literature, Seminar Papers Series (1978), pp. 191-227.

יום שישי, 2 בספטמבר 2016

גלגולי הטטרקטיס


הטטרקטיס, המספר הקדוש לפיתגוראים, היה מורכב מעשר נקודות וארבע שורות, בצורת משולש, כאשר בשורה הראשונה הייתה נקודה אחת, בשנייה- שתיים, בשלישית שלוש, וברביעית ארבע:

*
*   *
*   *   *
*   *   *   *

כל מספר שמוסיפים לו תשע שומר על עצמו בסכום הספרות שלו. התופעה הזאת נקראת גלגול.
סכום הספרות של 10 הוא אחד, של 11 שניים, של 12 שלוש ושל 13 ארבע.
סכום הספרות של הגלגולים של ארבעת המספרים הראשונים הוא עשר
10+11+12+13=46
46=4+6=10
והתופעה הזאת חוזרת גם כאשר מוסיפים תשע לכל אחד מהגלגולים החדשים
וכך:
19+20+21+22= 82
8+2=10

28+29+30+31= 118
1+1+8=10

37+38+39+40= 154
1+5+4=10





משולשים יוצרים ריבועים



האלכסון מחלק את הריבוע לשני משולשים שהיתר שלהם משותף.
כאשר מציירים ריבוע של המספר שניים בנקודות רואים שהוא מורכב מארבע נקודות למרות שכל משולש שלו מורכב משלש נקודות, שמתחברות לשש נקודות.  
מדוע זה קורה?
בגלל שכאשר שני משולשים מתחברים לריבוע סופרים את הנקודות של היתר המשותף שלהם רק פעם אחת.
כלומר הסכום של שני מספרים משולשים פחות מספר הנקודות שעל היתר יוצר ריבוע.

מספר
מספר משולש
פעמיים מספר משולש
פחות יתר
מספר נקודות שיש בריבוע
2
3
6
2
4
3
6
12
3
9
4
10
20
4
16
5
15
30
5
25
6
21
42
6
36
7
28
56
7
49

יום שני, 29 באוגוסט 2016

סכום הספרות של שעות אחר הצהרים


סכום הספרות
אחר הצהרים
לפני הצהרים
4
13
1
5
14
2
6
15
3
7
16
4
8
17
5
9
18
6
1
19
7
2
20
8
3
21
9
4
22
10
5
23
11
6
24
12

השעה 13:00 מתחילה את סדרת שעות אחר הצהרים.
הסיבה לכך שסכום הספרות שלה הוא 4 היא שהמספר 13 מופיע במקום הרביעי אחרי התשע.
לפניו מופיעה השעה האחרונה של שעות לפני הצהרים, 12:00. סכום הספרות שלה הוא 3 בגלל שהמספר 12 מופיע במקום השלישי אחרי התשע. לפניה השעה 11:00. סכום הספרות שלה הוא 2 בגלל שהמספר 11 מופיע במקום השני אחרי התשע. לפניה השעה 10:00. סכום הספרות שלה הוא 1  בגלל שהמספר 10 מופיע במקום הראשון אחרי התשע.
התשע הוא האחרון ביחידות, אבל מבחינת העשרות הוא משמש גם בתפקיד של אפס. 
בגלל שכל אחד מכיר את שעות אחר הצהרים בעל פה הן ממחישות בצורה הטובה ביותר את מושג הגלגולים. 10 הוא הגלגול הראשון של אחד. 11 הוא הגלגול הראשון של 2 וכן הלאה. 19 הוא הגלגול השני של אחד. סכום הספרות שלו הוא 1. לפניו בא 18 שסכום הספרות שלו הוא 9. מנקודת מבט זו 18 הוא הגלגול השני של אפס.
השימוש בשיטה זו של המרת 1 ב 13 וכן הלאה הוא שימוש מודרני, אחרת, קרוב לוודאי שהיו מגלים במערב את האפס הרבה לפני שייבאו אותו מהודו באמצעות המוסלמים במאה השתים עשרה.
צמצום של סכומי הספרות למספרים היסודיים 1-9 היה מוכר כבר לבישוף הרומי היפוליטוס במאה השלישית לספירה, ולפילוסוף הניאו אפלטוני ימבליכוס במאות השלישית-רביעית לספירה. גם הם היו יכולים לגלות את האפס הרבה מאות שנים לפני שהגיע למערב.