יום רביעי, 25 במאי 2016

חלוקה לשניים באמצעות סרגל ומחוגה


היוונים הקדמונים השתמשו בסרגל לצורך שרטוט ולא לצורך מדידה. כאשר היה להם צורך לחלק קו לשניים הם לא השתמשו, כפי שאנחנו משתמשים כיום, בסרגל מדידה, אלא במחוגה ובסרגל. הם למדו שבכל עיגול, בכל גודל שהוא, הקוטר מורכב משני רדיוסים, כלומר, כל אחד מהרדיוסים מחלק את הקו (הקוטר) לשניים, אבל לא לשני סנטימטר.
כאשר פיתגורס הראה את היחס בין הריבוע שעל היתר לבין הריבועים שעל ניצביו, היו הניצבים באורך של שלוש וארבע, והיתר היה באורך של חמש, אבל הם לא נמדדו בסנטימטרים.
כאשר למדתי את משפט פיתגורס בניתי את המשולש הזה עם סרגל מדידה. מדדתי היטב את אורכה של כל צלע במשולש, כי אף אחד לא טרח ללמד אותי איך לבנות אותו בלי מדידה.

אז עכשיו, אחרי שהבנת איך חילקו היוונים הקדמונים את הקו, האם תוכל להסביר לי איך לבנות את המשולש של פיתגורס באמצעות סרגל ומחוגה?

יום שישי, 20 במאי 2016

המחשה של חיבור הזרמים


כמו שכל המספרים מתחלקים לשניים: זוגיים ואי זוגיים
1   2
3   4
5   6
  8
9  10

ניתן גם לחלק אותם לשלשות
1   2   3
4   5   6
7   8   9
10  11  12

כשקוראים את השלשות במאונך מקבלים את מה שנקרא בשם "הזרמים". הזרם של 147 הוא הזרם של ההתחלות. הזרם של ה 369 הוא הזרם של הסיומות. הזרם של ה 258 נקרא הזרם המעורב.

בכל שורה כאשר מחברים את האיבר ששייך לזרם של ה-147 עם האיבר ששייך לזרם של ה-258 מקבלים סכום ששייך לזרם של ה-369:

1+2=3
4+5=9
7+8=15
10+11=21


יום חמישי, 19 במאי 2016

מספרים בצורת טרפז



כבר בצורת הטטרקטיס (המשולש בן עשר הנקודות) ניתן להבחין באפשרויות של יצירת טרפזים באמצעות מחיקת הנקודה העליונה. טרפזים אלה ממחישים אפשרויות של בניית מספר שאינן מופיעות במספרים המשולשים, המלבניים או הרבועים. וכך, לדוגמה, ניתן לראות במספרים המשולשים את החמש כשהוא מחולק בעצמו, דהיינו, כחמש נקודות, ובמספרים המלבניים את החמש כפול אחד (כמלבן שאורך צלעו האחת חמש ואורך צלעו השנייה אחד), אבל בצורת טרפז ניתן לראות איך הוא מורכב משניים ועוד שלוש.

הסימטריות של ניקומאכוס

*
*   *
*   *   *
*   *   *  *
טטרקטיס

ניתן לראות בטטרקטיס שהוא סימטרי:
מכל כיוון יש על צלעו ארבעה אחדים בשורה החיצונית,
שלושה בזו שלפניה,
שתיים בזו שלפניה
ואחת באחרונה

סימטריה דומה יש בסדרת הריבועים. הם ממחישים 
את התחלקותו הסימטרית וההדרגתית של כל ריבוע. התבוננות מנקודת מבט זו על הריבועים מגלה לנו 
גם את האחידות של סוד בנייתם
במרכז כל שורה מופיע מספר השורה
המספרים שלפניו, מן האחד עד אליו, מופיעים מימינו ומשמאלו בסימטריה:

1
121
12321
1234321
123454321
12345654321
1234567654321
123456787654321
12345678987654321
עץ המספרים של ניקומאכוס



הריבוע של ארבע בנוי מארבע נקודות שמסודרות בשלוש שורות:
אחת בשורה הראשונה
שתיים בשנייה
 אחת בשלישית.
מכל כיוון רואים שתיים מהן:
121=4

הריבוע של שלש:
12321=9

הריבוע של ארבע:
1234321=16

הריבוע של חמש:
123454321=25

סימטריה נוספת:
כל ריבוע מורכב משני משולשים ומקו
לדוגמה:
הריבוע של חמש מורכב מפעמיים המספר המשולש של ארבע, שהוא עשר, ועוד הקו של החמש

הערה:
ראו:
עץ המספרים מופיע בספר של ימבליכוס על ניקומאכוס תחת הכותרת "מסלול מעגלי מהדומה לדומה", והוא תוצאה של הכפלת המספרים שמורכבים מאחדים בעצמם:
11x11= 121
111x111= 12321
1111x1111 = 1234321

מקור: Thomas Taylor's Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans p. 244

יום שלישי, 17 במאי 2016

ריבועים קטנים שבונים ריבועים גדולים



22=4                 4x4=16=42
32=9                 9x4=36=62
42=16               16x4=64=82
52=25              25x4=100=102

הריבוע של עשר כחיבור של מספרים משולשים


1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
45+55=100

יום שני, 16 במאי 2016

תרגום משפת הצורות לשפת המספרים


אלכסון אחד מחלק את הריבוע לשני משולשים, אבל שני אלכסונים מחלקים אותו לארבעה. בשפת המספרים היינו אומרים ש
4:2=2
4:4=1

יום ראשון, 15 במאי 2016

הייחוד של השלוש

וְאִם יִתְקְפוֹ הָאֶחָד הַשְּׁנַיִם יַעַמְדוּ נֶגְדּוֹ וְהַחוּט הַמְשֻׁלָּשׁ לֹא בִמְהֵרָה יִנָּתֵק. (קהלת ד, יב)

השלוש מורכב משלושה אחדים
הנה כך:
*    *    *

אבל הוא גם כולל ששה אחדים בגלל שהוא כולל את האחד והשניים שלפניו.
בתור שכזה הוא נקרא בתורת המספרים בשם "מספר משולש" והוא נראה כך:

*
*    *
*    *    *

בתצוגה של מלבן המספר המשולש נראה כך
*    *    *
*    *    *

החיבור של השלש עם המספר המשולש שלו מניב את הריבוע שלו:

*    *    *
*    *    *
*    *    *

הנוסחה x+Tx=x2 ייחודית לשלש והיא איננה חלה על שום מספר אחר חוץ מהאפס

x
T
x+T
0
0
0
1
1
2
2
3
5
3
6
9
4
10
14
5
15
20

לסיכום
השלש הוא חצי מן המספר המשולש שלו (שהוא סכום המספרים מאחד עד אליו), ושליש מסכום המספר המשולש שלו ועוד עצמו. הריבוע של שלוש הוא המספר המשולש שלו ועוד עצמו. 

יום שישי, 6 במאי 2016

על הלימוד של המספרים כחוויה


בלוח השחמט ניתן לראות שאם הזוגיים בלבן האי זוגיים בשחור, ואם הזוגיים בשחור האי זוגיים בלבן. יש במראה הזה יופי שאין בידיעה המופשטת שאם תוסיף 2 שוב ושוב ל 1 תקבל את טור המספרים האי זוגיים, ואם תוסיף 2 שוב ושוב ל 2 תקבל את טור המספרים הזוגיים.
כך גם בטטרקיס של הפיתגוראים שמתאר באופן מושלם את ההתאמה שבין צורת המשולש לבין עשר הנקודות שמרכיבות את 1+2+3+4, שהן הסכום של ארבע, או תוכנו. אם פורשים את אותן עשר נקודות לאורך קו אין הבדל מרשים בינן לבין תשע נקודות או בינן לבין אחת עשרה נקודות.
אריסטו הסביר שלטטרקטיס היה מעמד מיוחד אצל הפיתגוראים בגלל שמאה הוא הסכום של ארבעת המספרים הראשונים בחזקה שלישית, אבל מאה הוא ריבוע שעל כל צלע שלו יש עשר נקודות, ואי אפשר להכניס לתוכו את הגופים התלת ממדיים שיוצרים השניים השלש והארבע כשהם בחזקה שלישית, בלי לפרקם. לדעתי אריסטו החמיץ בהסבר הזה את המעמד המיוחד שהיה אצל הפיתגוראים ללימוד החוויתי שנובע מתוך ראייה פשוטה של העובדות. לימוד שכזה עדיין ניתן לחוות בגאומטריה.
כמי שלמד את המספרים בבית הספר באופן מופשט, ושנן את נוסחאותיהם בלי לחוות את מה שהוא משנן, אני משתדל בבלוג הזה לברור מתוך שפע התופעות של תורת החשבון את אלה שמחזירות אותנו לאותם ימים נפלאים שבהם אנשים למדו את משפט פיתגורס באמצעות פסיפסים בחול.    


יום ראשון, 1 במאי 2016

מספר המספרים המקוריים- תשעה או עשרה ?

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90

בטבלה זו מופיעים תשעת המספרים המקוריים בשורה הראשונה.
החל מן העשר כל המספרים הם מספרים חוזרים: סכום הספרות של ה-10 (1+0=1) מעיד על מקורו באחד. סכום הספרות של ה-11 (1+1=2) מעיד על מקורו בשניים...
בגלל שיש רק תשעה מספרים מקוריים המרחק בין מספר מקורי לבין העתקו הראשון הוא תשעה מקומות (או פלוס תשע). ההעתק השני רחוק מן הראשון בתשעה מקומות (לדוגמה, ה-19 שאחרי ה-9) . במקום המילה העתק ניתן להשתמש במילה גלגול, כי נדמה שיש גלגל של מספרים שבכל סיבוב שלו הוא יוצר שורה חדשה של אותם מספרים. או שכל מספר נולד מחדש בצורה חדשה בשורה הבאה בטבלה. כך או כך, שוב ושוב אנחנו סופרים מאחד עד תשע, כך שסכום הספרות בכל תא שבכל עמודה מופיע בעצם בתא הראשון, או, במילים אחרות, השורה הראשונה מכילה את סכומי כל הספרות. ישנם, כפי שניתן לראות בטבלה, רק תשעה סוגים של סכומי ספרות.  

אבל אם נתבונן היטב נגלה שבכל עמודה ישנם עשרה מקומות כי לתשעת המספרים המקוריים נוסף האפס. האפס מופיע לראשונה במספר עשר. כלומר, עשר הוא המספר הלא מקורי הראשון, ואילו תשע הוא המספר המקורי האחרון. אין לאפס עמודה נפרדת של גלגולים כי אין לו גלגולים.

ההתבוננות הזאת מושפעת מן העובדה שאנחנו יודעים מה זה אפס. במשך אלפי שנים לא ידעו מה זה אפס. לראייה - הספרות העבריות (האותיות) שבהן עד היום אין זכר לאפס, לא בעשרות (ראו הדגשה), לא במאות, לא באלפים ולא ברבבות:

א
ב
ג
ד
ה
ו
ז
ח
ט
י
יא
יב
יג
יד
טו
טז
יז
יח
יט
כ
כא
כב
כג
כד
כה
כו
כז
כח
כט
ל
לא
לב
לג
לד
לה
לו
לז
לח
לט
מ
מא
מב
מג
מד
מה