יום ראשון, 17 בדצמבר 2017

אינסוף כפול אפס שווה לכל המספרים

לפני שנרדמתי קראתי שרמנוג'אן [1] גילה שאינסוף כפול אפס שווה לכל המספרים [2]. כשהתעוררתי היה נדמה לי שהוא התכוון למלבן שאורכו אינסופי ורוחבו אפס, כי מלבן שאורכו אחד ורוחבו אפס הוא חלק מאותו מלבן אינסופי, וגם מלבן שאורכו שניים וכן הלאה. השטח של כל המלבנים האלה הוא באותו גודל, אפס, אבל אורכם משתנה. בניסוח המספרי של רמנוג'אן בכלל לא היה ברור לי על מה לעזאזל הוא מדבר, אבל זה נראה אחרת לגמרי כשתרגמתי את השפה שלו לגאומטרית
בטיול הבוקר שלי כבר חשבתי שעל גלגל של רולטה, כל עוד הגלגל מסתובב כל מספר הוא בעל ערך של אפס, ומבחינה זו לא משנה אם יש על הגלגל אינסוף מספרים. רק כשהגלגל במנוחה כל מספר מקבל את מקומו ביחס למספרים האחרים.
הערות
[1]
רמנוג'אן סריניוואסה (1887- 1920)
[2]
..."באנגליה רמנוג'אן בנה תיאוריה של המציאות סביב אפס ואינסוף, אם כי אנשים סביבו לא הצליחו להבין למה בדיוק הוא התכוון. אפס, כך נראה, ייצג מציאות מוחלטת. אינסוף היה הביטויים הרבים של מציאות זו. התוצאה המתמטית שלהם, אינסוף כפול אפס, לא הייתה מספר אחד, אלא כל המספרים אשר כל אחד מהם התאים לפעולות בודדות של יצירה. "הרעיון אולי נראה טיפשי לפילוסופים, מתמטיקאים, אבל היה בעל משמעות לגבי רמנוג'אן". תרגום שלי מתוך הספר:

Zero: A Landmark Discovery, the Dreadful Void, and the Ultimate Mind By Syamal K. Sen, Ravi P. Agarwal

יום שישי, 15 בדצמבר 2017

על המשמעות של הזווית הישרה לפי פילון האלכסנדרוני

"המשולש ישר הזווית, נקודת ההתחלה של הצורות בעלות הצורה המוגדרת, מורכב ממספרים מסוימים, כלומר 3 ו 4 ו 5: 3 ו 4, שהם החלקים המרכיבים של 7, מייצרים את הזווית הישרה: שהרי הזווית החדה והזווית הקהה הן גילויים של אי-סדירות והפרעה ואי-שוויון: כי זווית אחת יכולה להיות חדה יותר או קהה יותר מאחרת: בעוד שזווית ישרה אחת אינה מאפשרת השוואה לאחרת, והיא אינה יכולה להיות "יותר ישרה" מאחרת, היא נשארת כפי שהיא, ולעולם אינה משנה את הטבע הנכון שלה"
מקור: פילון האלכסנדרוני, על בריאת העולם, תרגום שלי לעברית על פי התרגום לאנגלית של קולסון, ווויטקר, (לונדון וניו יורק 1929),כרך א עמ' 77-78
הערה שלי:
בראש טבלת עשרת הניגודים, שמופיעה בכתבי אריסטו ב"מטפיסיקה" 986 א, ניצב הניגוד שבין המוגבל לבלתי מוגבל, שהוא הניגוד החשוב שביניהם, כי עליו מתבססים הניגודים הבאים. הפיתגוראים העריצו את המוגבל וחששו מן הלא מוגבל, האינסופי. האחרון בטבלת הניגודים הוא הניגוד בין ריבוע למלבן. ריבוע הוא דבר מוגבל, לכל מספר יש ריבוע משלו, וכזה יש רק אחד. אבל כל מספר יכול ליצור מלבן עם כל מספר אחר, ומאלה יש אינסוף. אותו היגיון מנחה את פילון בקטע שתרגמתי לעיל. יש רק זווית ישרה אחת- זה המוגבל. יש אינסוף זוויות שאינן ישרות- זה הבלתי מוגבל, המפחיד. עד כמה שאני מכיר את פילון הוא לא ממציא מדעתו אלא מצטט מאיזה ספר שאינו מציין את שמו.

המספרים 3 4 5 הם המרכיבים של משפט פיתגורס. ההתעכבות של פילון על העובדה שהשלוש והארבע הם המרכיבים של השבע מאפשרת הבנה חדשה של משפט פיתגורס. כאשר מחברים את שלש וארבע בחשיבה של תורת המספרים, רואים לכל היותר חיבור של יחידות מופשטות זו לזו, אבל בחשיבה גיאומטרית רואים משולש ישר זווית, ומבינים במה הוא מיוחד מכל שאר המשולשים. הגיאומטריה מעשירה את ההבנה של תורת המספרים, ומוסיפה לה ממד חווייתי. 

יום שלישי, 12 בדצמבר 2017

לאחד יש קדקוד אחד

לאחד יש קדקוד אחד. לשניים שניים, למשולש שלושה, לריבוע ארבעה, למחומש חמישה, למשושה שישה. קל יותר לראות את זה כשהולכים מהאחרון לראשון. 

צורתו של השבע

הנקודה היא הצורה של האחד, הקו של השניים, המשולש של השלוש, הריבוע והמרובע של הארבע, המחומש והפנטגרמה של החמש, המשושה והמגן דוד של השש.

ישנם שלושה סוגים של קווים ישרים: אורך רוחב ואלכסון. כאשר הם חוצים אלה את אלה הם יוצרים צורת כוכב של ששה קדקודים, שבמרכזו נקודה. הנקודה הזאת היא הצורה של השבע. אם תדמיינו לעצמכם את ששת הקווים של הכוכב כחישורים של גלגל, ואת הגלגל כשהוא מסתובב לאט, תראו בברור שהנקודה העליונה מחליפה את זו שמתחתיה, וזו שמתחתיה את זו שמתחתיה, אבל אף נקודה לא יכולה להחליף את הנקודה שבאמצע, את השבע. זאת ועוד, גם אם הגלגל מסתובב במהירות הנקודה השביעית תמיד נחה [1]. זה המראה שראה מי שכתב את סיפור הבריאה המקראי. השבת היא התגלמות המספר שבע, היא שונה בסוגה משאר המספרים. זה גם מה שראו הפיתגוראים. הם אמרו שהשבע לא נולד מאב ואם אלא הגיע למציאות מוכן, כמו אלת המלחמה אתנה שקפצה לבושה וחמושה ממוחו של זאוס. כי מבין עשרת המספרים הראשונים העשר נולד מהחמש, התשע - מהשלוש, השמונה - מהשניים, השש – מהשלוש.
[1]
כך גם מתאר פילון האלכסנדרוני את המספר שבע:
"for that which neither begets nor is begotten remains motionless; for creation takes place in movement, since there is movement both in that which begets and in that which is begotten, in the one that it may beget, in the other that it may be begotten. There is only one thing that neither causes motion nor experiences it, the original Ruler and Sovereign" (Philo, ON THE CREATION, XXXIII)

מדוע השניים נראה כתמונת מראה של החמש

  

כמו שהאחד הוא האחד ביחידות העשר הוא האחד בעשרות, יש רק עשר אחד, וכמו שהאחד הוא הראשון ביחידות, העשר הוא הראשון בעשרות. וכמו שהשניים מחלק את האחד לשני חצאים שווים, כך החמש מחלק את העשר לשני חצאים שווים. את התופעה הזאת הבין מי שעיצב את צורת המספרים ולכן הוא קבע שהשניים יהיה תמונת מראה של החמש ולהפך.  

יום ראשון, 19 בנובמבר 2017

המבנה של המספרים המשולשים דומה למבנה של האבנים בספר יצירה


"שתי אבנים בונות שני בתים, שלש אבנים בונות ששה בתים, ארבע אבנים בונות ארבעה ועשרים בתים, חמש אבנים בונות מאה ועשרים בתים, שש אבנים בונות שבע מאות ועשרים בתים, שבע אבנים בונות חמשת אלפים וארבעים בתים, מכאן ואילך צא וחשוב מה שאין הפה יכול לדבר ואין האוזן יכולה לשמוע". (ספר יצירה, פרק ד, משנה ט"ז)

במספרים המשולשים מוסיפים את סכום המספרים עד המספר המבוקש במספר שמעליו
באבנים בספר יצירה מכפילים את סכום המספרים עד המספר המבוקש במספר שמעליו
הנה כך:
1+2    לעומת1.2
1+2+3  לעומת   1.2.3
1+2+3+4  לעומת 1.2.3.4
1+2+3+4+5  לעומת  1.2.3.4.5
1+2+3+4+5 +6  לעומת  1.2.3.4.5.6
1+2+3+4+5 +6+7  לעומת  1.2.3.4.5.6.7
המקבילה הגאומטרית למספרים המשולשים היא המשולש של הנקודות
*
*       *
*        *        *
*        *        *         *

מהי המקבילה הגאומטרית לאבנים שבונות בתים בספר יצירה?

Pythagorean Number Philosophy by Phineas Mordell

A SOLUTION OF THE PYTHAGOREAN NUMBER PHILOSOPHY SUPPLEMENT TO THE ORIGIN OF LETTERS AND NUMERALS " BY PHINEAS MORDELL.
Copyright 1923 by Phineas Mordell.


The real reason why the Pythagoreans considered numbers to be the elements and origin of everything was that they believed numeral symbols to have preceded all other forms of writing. [1] This is what they really meant when they said: "Numbers by nature are the first and prior to all things." (Aristotle's Metaphysics, Book 1, Chapter 5). The letters of the earliest alphabet having been numeral symbols, all words were originally made up of numeral symbols or numbers.

In the Hebrew language which also resembles the Phoenician language, (and it was anciently believed that Pythagoras himself was a Phoenician) both "words" and "things" are designated by the term דברים. Since "words" is the equivalent of "things" the Pythagoreans said that all things (i.e. words) had their origin and composition in numbers.

Now according to both the Sefer Yetzira and the Pythagoreans, the four elements, fire, air, water, earth, emanated from the first four numbers, I, 11, 111, 1111.
For lamblichus (Life of Pythagoras, transl. by Th. Taylor, London, 1815, p. 332) says: "The fourth tetractys is of the simple bodies, fire, air, water and earth, which have an analogy according to numbers. For what the monad was in the first tetractys, that fire is in this. But the duad is air, the triad is water and the tetrad is earth."[2]. In the Sefer Yetzira however, air is associated with the number one, water with the number two, earth with the number three and fire with the number four. [3] The real four elements of the Pythagoreans were also a series of strokes 1, 11, 111, 1111, amounting to ten which were originally numbers and letters.

The key to the complete identification of the philosophy of Pythagoras with that of the Sefer Yetzira as interpreted in this thesis is the Zero. According to the Sefer Yetzira as explained above
בלימה means Zero. Was the Zero a secret known to the Pythagoreans? A solution to this question will be found in the Pythagorean dualism. The "one" in the Pythagorean dualism is the Symbol, I. Contrary to the prevailing opinion, I believe that the Pythagoreans regarded the Zero, 0, as the second element which was called the infinite, indeterminate duality, infinite binary, etc. In a binary system of notation, the Zero is the second Symbol. We know now that even the decimal system of notation originated from the two symbols the one, I, and the Zero, 0. This is in perfect harmony with the Pythagorean formula that all numbers originated from two elements, the limited (the one, 1,) and the unlimited (the Zero, 0). Therefore, all things according to the Pythagoreans originated from two elements One, 1, and the Zero, 0. [4] Since One, 1 is the finite, the Zero, is the true infinite of the Pythagoreans. The One, 1 was considered the Good, for it represents that which exists, but the Zero, was called the evil, for it represents non-existence.     

The Pythagoreans could not have meant by infinite duality the number two, as many writers believe, for as the one is finite, so the number two and every other number must also be finite. Moreover, in a binary system of notation the symbol one, 1 itself becomes two just as in a decimal system of notation the symbol one, 1 itself, becomes ten.

Boeckh {Philolaos, pp. 53, 140, 148) made it clear that the Pythagorean infinity which is identical with infinite duality is not a number at all. See also A. Heinze, Metaphyische Grundlehren, Leipzig, p. 26. [5]

As Leibnitz has represented God's Creation of the Universe out of chaos or nothing, by means of two digits as symbols, so some Pythagoreans also interpreted the one as God and the second element the infinite binary (the Zero, 0) as the visible world. (Plutarch's Morals translated by W. W. Goodwin, vol. Ill, p. 109. Boston 1870).

"The Deity, it is thought by some, was distinguished by the Pythagoreans as absolute unity, from unity conceived." (A History of Greek Philosophy, Dr. E. Zeller, translated by S. F. Alleyne, London 1881, vol. 1. p. 398.)

Such a view was apparently that of the Sefer Yetzira (above p. 59 para. 15) "Understand wisdom and be wise in understanding, that there is but one Master, and there is no second to him." So in
תיקוני זוהר it is said אנת הוא חד ולא בחושבן Thou art one which is different from the one that is counted. So Solomon ibn Gebiroi in כתר מלכות says אתה אחד ולא כאחד בקנוי והמנוי  Thou art one and not as the one that is created and counted.

George Boole inThe Laws of Thought, London 1854, p. 48, also says: "The respective interpretations of the symbols 0 and 1 in the system of Logic are Nothing and Universe."
In ancient times various interpretations were given to the two symbols 1 and 0, as the Platonic antithesis of "being" and "non-being." (Boole, ibid, p. 414,) and Leucippus's "Plenum" and "vacuum," into which all existence was resolved (Boole, ibid, p. 413). The Philosophy and religion of Dualism apparently arose from an interpretation of the symbols one, 1 and zero, 0.

Various views prevailed about the origin of these two symbols. Some believed that the Zero, preceded the One, 1. Perhaps the Chinese cosmogony is based on this view. [6] The author of the Sefer Yetzira and the Pythagoreans believed that the one preceded the zero. Therefore, the zero was second.
The view held by some Kabbalists that the nine Sefiroth or numerals (1-9) have emanated from infinity אין סוף implies that the Zero 0, has preceded the One, 1. But according to the author of the Sefer Yetzira and the Pythagoreans even infinity emanated from the One, 1.
After the invention of the symbols 11, 111, 1111, when the binary system of notation developed into a decimal, the zero was regarded as the fifth symbol and hence the fifth element. The five symbols or elements 1, 11, 111, 1111, 0, were supposed to symbolize the whole cosmos which was believed to be in harmony with a decimal system of notation expressible by these symbols. [7]

The four elements, air, water, earth and fire were also symbolized by ten dots * ** *** **** arranged in a triangular form and the sphere of void encompassing them was symbolized by a circle. Hence the void and the universe were symbolized by 


and apparently was simplified in a

 which according to Boethius, the Neo-Pythagoreans used as a symbol for zero.
The void and the universe may also be symbolized by a circle containing the nine numeral figures 1-9. The nine numerals may be designated by Kabbalistic names as
1 – חכמה, 2-בינה, 3-דעת, 4-חסד, 5- תפארת, 6- גבורה, 7 – נצח, 8 – הוד, 9 - יסוד
and the zero circle embracing them may be designated by אין סוף or כתר מלכות.



About the Hebrew Kabbalistic origin of our numerals see A. J. H. Vincent in Journal de Mathematiques Par Joseph Liouville Paris 1839 pp. 261-280 and in Revue Archaologique 18J5-1845) pp. 601-621.)

According to the Sefer Yetzira the Hebrew alphabet consisting of ten double letters and twelve simple letters, representing the vigesimal and duodecimal systems of notation, still more fully symbolizes the universe.

If we consider every stroke as a separate symbol the zero is the eleventh as 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0, or the tenth as 1,1,1,1,1,1,1,1,1,0

From a Pythagorean point of view the fifth element "aether" like infinity is only another name for vacuum. [8] Therefore, aether also is logically identical with zero (Com. above p. 30). Now "modern physics following Einstein asserts that . . . since the 'aether' as a substance obstinately evades all our attempts at observing it, and all phenomena occur as if it did not exist, the word 'aether' lacks physical meaning, and therefore aether does not exist" (M. Schlick, Space and Time, p. 12). "Since we are free to use words at pleasure there is no objection to using the word 'aether' in the future to represent the vacuum . . . we must be very cautious, however, not to picture it as matter" (ibid p. 20).
In the above explained system of notation from which our system of notation originated, the principle of position (place value) plays an important role. It is this principle that makes it possible to express all numbers, by only two symbols the One, 1 and the Zero, 0. The principle of position is the "miracle" that makes one, many and many, one. In the Sefer Yetzira (above p. 59 para. 15) the principle of position is indicated b}' the words "The ten digits and zero their end is joined with their beginning, as a flame is attached to the coal." Now if the Pythagorean number philosophy was based on such a system of notation as that on which the philosophy of the Sefer Yetzira is based, the principle of position, (place value) must have been known to the Pythagoreans and must have played an important role in their philosophy. But how did they express it? Did their "harmony" mean the principle of position? [9]

 The Pythagorean philosophy is the greatest enigma of all philosophical systems of antiquity. Various sources such as Egyptian, Indian, Greek, Phoenician, Hebrew, etc., have been advanced as the origin of the Pythagorean philosophy. Many years of study have convinced me that the Pythagorean philosophy is identical with the philosophy of the Sefer Yetzira and both are of Hebrew origin. The philosophy of the Sefer Yetzira apparently emanated from the Hebrew prophetic guild or school as conjectured by Joseph Molitor. That which really was the philosophy of the Sefer Yetzira, the Greeks designated as Pythagorean philosophy and transmitted this to posterity in such a mutilated form that in spite of everything that has been written on the Pythagorean philosophy since Aristotle, it has never yet been really understood. The entire Greek account of Pythagoras and his philosophy is unreliable and most likely is a forgery. However, that may be, I hope I have at least succeeded in removing some obstacles to a better understanding of the Sefer Yetzira and the Pythafrorean philosophy and their relation to each other.

Notes

[1] '"The invention of Signs to represent numbers is doubtless much older than any form of writing" (Chambers Encyclopaedia, 1893, Vol. VII, p. 548). "Numeral characters, were first invented because they were first necessary to mankind." (Th. Astle — The Origin and Progress of Writing, London 1784).

[2] "Die Pythagoreer fuehrten daheralles auf die Zahl und nicht auf die mathematischen Figuren zurueck" (S. A. Byk. Die Vorsokratische Philosophie 1. Leipzig 1876, p. 116).

[3] It is the "central fire" (fiery angels the throne of glory) that is associated in the Sefer Yetzira (above p. 61 para. 21) with the number four or ten which the principle of place value makes a harmonious one (see below about harmony). The harmonious one (zusammengefuegtes Eins) was confounded with the plain one and thus fire came to be regarded as the Pythagorean first material element.

[4] The Chinese Philosophers even actually said that the circle 0 and the line ------- are the first elements from which all writing and everything originated. (Thimus Harmonikale Symbolik Koeln 1876, vol. 1, pp. 79-83).
By the "bounded line" and "unbounded line" from which according to the Pythagoreans everything originated (Diels H. Die Fragmente der Vorsokraliker p. 250) they surely meant the line and the circle the symbols for one and zero.

[5] After having written this supplement I lound that Mr. S. Klyce (Universe 1921 para. 43 f) advances the view that zero and infinity are logically identical.

[6] There was first ot all a period when Nothing existed . . . Grad- ually Nothing took upon itself the form and limitation of Unity, represented by a point at the centre ot a circle" (H. A. Giles, A History of Chinese Lit- erature, New York, 1901, p. 3).

[7] '"Die Weltkugel besteht aus fuenf Koerpern: dies sind innerhalb der Kugel Feuer, Wasser, Erde, Luft und ausserdem fuenftens das Gehaeuse der Kugel selbst." (Nestle, Die Vorsokratiker. Jena 1908, p. 162).

[8] "'Das fuenfte Element ist also nicht aus der fuenfren mathematischen Figur geworden, da dasselbe als Urgrund ganz formlos ist. Deswegen spricht auch Stobaeus von bios vier Elementen, . . . weil das fuenfte Element als reiner Urgrund noch keine Zahl und daher im Kosmos nicht voshanden ist." (S. A. Byk, Die I'orsokratische Philosophic 1. Leipzig 1876, p. 94).
"Infinity is not the affirmation of space but its disappearance" (H. Waldon Carr, The General Principles of Relativity 1920, p. 152).
Perhaps it is more correct to read (above p. 60 para. 16) ותכליתן אין סוף "and their termination is infinity" instead of אין להם סוף "to their aim there is no limit."


[9] '"Das absolute Princip dieser Harmonic sahen die Pythagoraeer in der Monas, sie ist ilinen die nur im Gedanken vorhandene mit sich scibst noch unentzweite Einheit, die das viele zu ihrem Gegensatze hat. In diesem Stad- ium ist sie nur Monas. Zur Harmonic wird sie erst, wenn sie aus sich selbsi ztim Vielen wird." (S. A. Byk, ibid, p. 108).

יום שלישי, 14 בנובמבר 2017

המספר פאי בספר יצירה

הגר"א גילה שהמספר פאי מתחבא במשנה השנייה של ספר יצירה. 
הגר"א כתב בפירושו לספר יצירה: 

"בשלשים ושתים, כמו שמפורש במשנה ב' [בספר יצירה] "עשר ספירות" וכו' "ועשרים ושתים". והם [ה-32] במספר הקו הסובב לאלכסון-עשרה. ונחלק לעשר וכ"ב, לפי שמחלק העשר של האלכסון לג' אמות וז' כפולות. ולשבע - ההיקף הוא כ"ב; ולג' - ההיקף עשר".

כלומר, עיגול שקוטרו 7 הוא בהיקף של  22 (בקירוב(
עיגול שקוטרו 10 הוא בהיקף של  32 (בקירוב(
לפיכך יש התאמה בין היחס של קוטר העיגול להיקפו לבין היחס שבין שבע אותיות (כפולות) לבין 22 אותיות האלף בית, ויש התאמה בין 10 אותיות (אמות וכפולות) לבין 32 נתיבות החכמה, ובין יחס שלש האמות לבין העשר.

יוצא שצורות גיאומטריות מספרים ואותיות הם ביטויים שונים לדבר אחד, כמו שבמכניקת הקוונטים החלקיק והגל הם ביטויים לדבר אחד, וכמו שבן אדם יכול להיות זכר או נקבה.

הגר"א בעצם שואל כאן את עצמו אם המספר של המספרים הוא שרירותי או מקרי, ואם המספר של האותיות הוא שרירותי או מקרי. תשובתו היא שיש הכרח מתמטי שמספר המספרים יהיה עשרה ושמספר האותיות יהיה 22, כי אם היו, לדוגמה, תשעה או אחד עשר מספרים לא היה מתקיים היחס שבין קוטר המעגל להיקפו, ואם מספר האותיות היה, לדוגמה, 21 או 23  לא היה מתקיים היחס שבין קוטר המעגל להיקפו.



יום שבת, 11 בנובמבר 2017

הסבר לנוסחת המספרים המשולשים



הנוסחה של המספרים המשולשים היא המספר כפול המספר שמעליו חלקי שניים.

                    אבל למה?

כאשר מכפילים שני מספרים זה בזה נוצר מלבן:
הצלע הקטנה שלו היא המספר.
הצלע הגדולה היא המספר שמעליו.
במקביל לצלע הקטנה יש צלע קטנה באותו אורך.
במקביל לצלע הגדולה יש צלע גדולה באותו אורך.

במלבן כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו והוא מורכב תמיד משני משולשים זהים.

אז אם אנחנו מחפשים מהו המספר המשולש של שלש
עלינו להכפיל שלש במספר שמעליו שהוא ארבע
מקבלים מלבן של שתים עשרה נקודות
שמתחלק לשני משולשים זהים שבכל אחד מהם שש נקודות
ושש הוא המספר המשולש של שלש

בכל משולש רואים היטב שהוא מתחיל מנקודה אחת
שתחתיה יש שתי נקודות
שתחתן יש שלש נקודות
אחד ועוד שניים ועוד שלוש הם שש


יום חמישי, 9 בנובמבר 2017

על מקורות הגיאומטריה

להלן ציטוט מדברי דוד גנז (1541 - 1613) בהקדמתו לספרו נחמד ונעים (שפורסם בשנת 1743, למעלה ממאה שנה לאחר פטירתו של דוד גנז).

    "המצריים קיבלו חכמת המספר וההנדסה בצירוף חכמת התכונה מיעקב ובניו כאשר ירדו למצרים, נוסף על מה שכבר קיבלו מאברהם אבינו ע"ה, ולמדו מהם מה שקיבלו מאבותיהם אברהם ויצחק. וברוב הגלות אשר שם נשתכחה אז זאת החכמה מבני ישראל, ונשארו שם ביד חרטומי מצרים אשר הפליגו בה והגדילו בה מאוד מאוד, אשר גם לזה נסתייעו מאמרי רז"ל בהזכרת אצטגניני פרעה בכמה מקומות. וכתבו המחקרים שבמצרים קדמו בחכמת האלו קודם כל גויי ארצות, והפליגו בה יותר מכל שאר ארצות עם ולשון תחת השמים, וזה לשלושה סיבות: הראשונה, קבלת מאבותינו אברהם יצחק ויעקב ובניו כנזכר. הסיבה השנייה, שכבר ידוע שנהר נילוס עולה כל שנה ושנה ומשקה את הארץ ומעלה על אדמתם רפש וטיט משחית ומבלבל סימני וגבולי כבדת וחלקת אדמתם יושבי הארץ, ואי אפשר שיחזור ויגיע לכל אחד ואחד את אדמתו אם לא ע"י חכמת המספר וחכמת המדידה שקורין גיאומיט"ריאה, פירוש מדידת הארץ. ומחכמה זו השכילו ועלו בשכלם מעלה מעלה, עד שבאו לידי התבוננות מהלכי שבע כוכבי לכת ומהלכי המזלות, אשר עד היום הזה מדידות וחקירות כוכבים ומזלות נקרא בפי החכמים בכל הארצות על דרך השאלה גיאוטמי"טריאה, שפירושו מדידת הארץ. הסיבה השלישית, שבשאר ארצות אין ביד התוכנים להתמיד בחקירת הכוכבים, שכאשר ימלאו העבים גשם אין נראה להם שום כוכב, מה שאיננו כן בארץ מצרים, משם לא ימצא מטר או גשם"...

יום שני, 23 באוקטובר 2017

מבנה המספרים שמסתיימים בחמש

מבנה המספרים שמסתיימים בחמש דומה מאד למבנה 
המספרים האי זוגיים


יום שני, 10 ביולי 2017

מספרים הולוגרפיים

ארבע הוא מספר הולוגרפי, כי הוא ריבוע שמורכב מארבעה ריבועים.
שמונה הוא מספר הולוגרפי, כי הוא קובייה שמורכבת משמונה קוביות.

מבין עשרת המספרים הראשונים נדמה שרק אלה מספרים הולוגרפיים.
אם תיקחו לדוגמה את השש הוא משושה שמורכב מששה משולשים, לא ממשושים,

ואילו התשע הוא ריבוע שמורכב מתשעה ריבועים.

יום שבת, 10 ביוני 2017

הרהור פילוסופי על מהות המספרים




אנחנו רגילים להביא את האקסיומה אחד ועוד אחד שווה שניים כדוגמה לנכונות של דבר באופן אינטואיטיבי, כדוגמה לידיעה ישירה שאיננה נזקקת להוכחות. האם אפשר להראות שאחד ועוד אחד אינם שווים שניים? האם מי שיראה את המראה החדש הזה יסכים לקבל אותו כנכון?
נסו לחבר אחד כחול עם אחד צהוב – האם קבלתם אחד ירוק? נדמה שזאת התחכמות, אבל החיבור במקרה הזה הוא לא של משמעות המספרים אלא של משמעות הצבעים, כך שהמשפט  אחד ועוד אחד שווה אחד נשמע הגיוני ופשוט.
עד כמה שהבנתי את הפילוסוף לודוויג ויטגנשטיין הוא חשב שמספרים הם מוסכמה לשונית. שאלה שמדברים בשפה מסוימת מקבלים עליהם את חוקיה. אלא שהחוקים האלה אינם מתכנסים למכנה משותף כלשהו, ולכן יש בשפה סתירות, דברים עמומים, אי וודאות. זכור לי גם שאחד מתלמידיו של ויטגנשטיין ניסח את המסקנה הזאת בדוגמה משעשעת שקל לזכור אותה: אין אמת אחת, יש בלונדינית אמתית לעומת זאת שצבעה את שערה לבלונד.

מה שמדאיג בהרהור הזה הוא שמקובל בלוגיקה שאם יש פרט אחד שאינו מתאים לכלל הכלל אינו נכון. וכך, אם יש עורב אחד לבן אז אי אפשר לטעון שכל העורבים שחורים תמיד, כשם שאי אפשר לטעון שאחד ועוד אחד שווים תמיד שניים, שהרי במקרה של הצבעים, כפי שהראיתי לעיל, אחד ועוד אחד שווה אחד.

הערה:

אריסטופנס מספר לנו (בדיאלוג האפלטוני "המשתה")
את הסיפור המיתולוגי על אדם הראשון שהיה אנדרוגינוס, שהיו לו ארבעה זוגות גפיים, וזאוס הפריד אותו לשנים, לזכר ולנקבה. כוונתו של אפלטון, בהשפעת הפיתגוראים, להמחיש לנו באמצעות אלגוריה זו את מהותו של המספר אחד. צא ולמד שכשם שאדם הראשון קדם לצאצאיו, כך גם האחד קודם לכל שאר המספרים, אבל בהבדל מהם הוא אינו מתמיין לזוגי או לאי זוגי, אלא מכיל גם זה וגם זה, וגם לא את זה ולא את זה. האחד מתחלק לשני אחדים שלכל אחד מהם יש מין שונה. אחד ועוד אחת שווה אחד, אבל התוצאה אחד, היא בעצם המקור שאין לו מין הן של האחד והן של האחת. גם כאן אנחנו לא מחברים את המשמעות המספרית של המספרים אלא את המשמעות המינית שלהם.

יום שני, 3 באפריל 2017

מספרים מצולעים

 מספר משולש ועוד מספר ריבועי
 יוצרים מספר מחומש 


מספר משולש ועוד מספר מחומש 
יוצרים מספר משושה

מקור:

Nicomachus, Introduction to Arithmetic ii. 12. 2-4, ed. Hoche 96. 11-97. 17

יום ראשון, 2 באפריל 2017

המקור לעיצוב של הפנטגרמה ושל ההקסגרמה

משולשים על הצלעות של משולש, על הצלעות של ריבוע, על הצלעות של מחומש, על הצלעות של משושה ... על הצלעות של מתומן. זה נראה כמו עיצוב מכוון. 

יום חמישי, 30 במרץ 2017

מפת הסידורים השונים של המספרים הטבעיים


למעלה משמאל לימין:
מספרים טבעיים
אי זוגיים
זוגיים
זרם של 147
זרם של 258
זרם של 369
למטה:
הגלגולים
השיטה העשרונית


יום שלישי, 28 במרץ 2017

בעיית קיום האובייקטים המתמטיים

אם מציירים נקודת דיו על דף - יש לה קיום פיזי בחלל ובזמן; היא נראית כמו מעגל שיש לו שטח עובי ומרכז. משמעותו של מראה זה סותרת את ההגדרה של אוקלידס את הנקודה כ"זה שאין לו חלקים". עם זאת הגדרתו של אוקלידס נותרת מדויקת  לגבי נקודה שמגבילה קו – ניתן למדוד את הקו ולראות שהנקודה שבסופו איננה מוסיפה עליו אף חלקיק של מילימטר. כך גם לגבי קו שמגביל שטח, ושטח שמגביל נפח. זאת הוכחה לקיום של אובייקטים מתמטיים פיזיים בחלל ובזמן. ניתן לראות נקודה קו ושטח שכאלה באמצעות החושים. לסיכום, האובייקטים המתמטיים הבסיסיים האלה מתנהגים בצורה אחת כשהם מוצגים כשלעצמם, ובצורה אחרת כשהם מוצגים ביחד עם הממד שאחריהם.  



יום שני, 27 במרץ 2017

חלוקת מספר בעצמו כנקודות על מעגל

כל מספר שמתחלק לעצמו מורכב מאחדים, נקודות, שמרחקן מן האפס הוא אותו מרחק. 

יום ראשון, 26 במרץ 2017

3x3


בין כל זוג של נקודות יש נקודה נוספת, אבל היא נמצאת על מעגל אחר, גדול יותר. כך זה במשולש, בריבוע, במחומש (פנטגרמה) במשושה (מגן דוד), ובמתומן (אוקטגרמה). זאת בעצם ההמחשה של הזוגיים, שכן המבנה שלהם הוא של 2x: 
שני אגפים זהים: שלש ושלש (שש), ארבע וארבע (שמונה), חמש וחמש (עשר), שש ושש (שתים עשרה), שמונה ושמונה(שש עשרה). 

יום שבת, 25 במרץ 2017

ארבע על ארבע

בין כל זוג של נקודות יש נקודה נוספת, אבל היא נמצאת על מעגל אחר, גדול יותר. כך זה במשולש, בריבוע, במחומש (פנטגרמה) במשושה (מגן דוד), ובמתומן (אוקטגרמה). זאת בעצם ההמחשה של הזוגיים, שכן המבנה שלהם הוא של 2x: 
שני אגפים זהים: שלש ושלש (שש), ארבע וארבע (שמונה), חמש וחמש (עשר), שש ושש (שתים עשרה), שמונה ושמונה(שש עשרה). 

השעה שתים עשרה

1+11=12
2+10=12...

שמונה בתוך שמונה - אוקטגרמה

האוקטגרמה היא בעצם המחשה של הסדרה ההנדסית של שניים: יש בה שני ריבועים, לכל אחד מהם יש ארבעה קדקודים, סכום הקדקודים האלה הוא שמונה, והם מתחברים כולם במעגל חיצוני שמקיף מעגל פנימי שמחבר עוד שמונה נקודות במפגשי הריבועים. 

יום שישי, 24 במרץ 2017

זוגיים כקווים מקבילים

שניים מורכב מאחד ועוד אחד 
ארבע משניים ועוד שניים
כל אגף של מספר זוגי נמצא על אחד משני קווים מקבילים


יום רביעי, 15 במרץ 2017

החמש כמרכז


חמש הוא מרכזו של התשע, כאשר אחד עד ארבע מצדו האחד, ושש עד תשע מצדו השני. הוא מרכזו של הריבוע של שניים, מרכזו של הריבוע של שלש, ומרכזו של הטטרקטיס, שהוא המספר המשולש של ארבע.  

הפנטגרמה כטטרקטיס

הפיתגוראים העריצו את המספר עשר. הם קראו לו בשם טטרקטיס (צורה של ארבע – טטרה) בגלל שניתן לסדר עשר נקודות  בארבע שורות, בצורת משולש, שבקדקודו נקודה אחת ובבסיסו ארבע. סכום הנקודות הוא עשר: 1+2+3+4=10

*
* *
* * *
*  * * *

בטטרקטיס ניתן, לדעת הפיתגוראים, לגלות את כל חוקי המספרים.
הם העריצו גם את סמל הפנטגרמה וקראו לו בשם היגייה (בריאות). אבל הקשר של הפנטגרמה למספר עשר פחות ידוע מזה של הטטרקטיס.
גם הפנטגרמה מורכבת מעשר נקודות: חמש פנימיות וחמש חיצוניות, שמקיפות אותן.

הטטרקטיס מנבא את הופעת הפנטגרמה כי הוא מורכב מאחד וארבע, ומשניים ושלש - שני זוגות המספרים שכל אחד מהם מרכיב את החמש: אחד וארבע, שניים ושלש:
(1+4)+(2+3)=10

יום שלישי, 14 במרץ 2017

גלגולי הריבועים

גלגול מתרחש כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו. 1 הופך ל 10 והסכום הדיגיטלי של 10 הוא 1 (1 + 0 = 10).
כאשר נוסיף 9 למספר ריבועי ההבדל בין חברי הסדרה החדשה יוצר את הסדרה של המספרים האי-זוגיים.

גלגול המספרים המשולשים

גלגול מתרחש כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו. 
1 הופך ל 10 והסכום הדיגיטלי של 10 הוא 1 (1 + 0 = 10).
2 הופך ל 11 והסכום הדיגיטלי של 11 הוא 2.
3 הופך ל 12 והסכום הדיגיטלי של 12 הוא 3.
חיבור שלושת המספרים החדשים נותן 33, והסכום הדיגיטלי של 33 הוא 6. 

גלגול הזרם של ה- 3-6-9