יום שבת, 10 ביוני 2017

הרהור פילוסופי על מהות המספרים




אנחנו רגילים להביא את האקסיומה אחד ועוד אחד שווה שניים כדוגמה לנכונות של דבר באופן אינטואיטיבי, כדוגמה לידיעה ישירה שאיננה נזקקת להוכחות. האם אפשר להראות שאחד ועוד אחד אינם שווים שניים? האם מי שיראה את המראה החדש הזה יסכים לקבל אותו כנכון?
נסו לחבר אחד כחול עם אחד צהוב – האם קבלתם אחד ירוק? נדמה שזאת התחכמות, אבל החיבור במקרה הזה הוא לא של משמעות המספרים אלא של משמעות הצבעים, כך שהמשפט  אחד ועוד אחד שווה אחד נשמע הגיוני ופשוט.
עד כמה שהבנתי את הפילוסוף לודוויג ויטגנשטיין הוא חשב שמספרים הם מוסכמה לשונית. שאלה שמדברים בשפה מסוימת מקבלים עליהם את חוקיה. אלא שהחוקים האלה אינם מתכנסים למכנה משותף כלשהו, ולכן יש בשפה סתירות, דברים עמומים, אי וודאות. זכור לי גם שאחד מתלמידיו של ויטגנשטיין ניסח את המסקנה הזאת בדוגמה משעשעת שקל לזכור אותה: אין אמת אחת, יש בלונדינית אמתית לעומת זאת שצבעה את שערה לבלונד.

מה שמדאיג בהרהור הזה הוא שמקובל בלוגיקה שאם יש פרט אחד שאינו מתאים לכלל הכלל אינו נכון. וכך, אם יש עורב אחד לבן אז אי אפשר לטעון שכל העורבים שחורים תמיד, כשם שאי אפשר לטעון שאחד ועוד אחד שווים תמיד שניים, שהרי במקרה של הצבעים, כפי שהראיתי לעיל, אחד ועוד אחד שווה אחד.

הערה:

אריסטופנס מספר לנו (בדיאלוג האפלטוני "המשתה")
את הסיפור המיתולוגי על אדם הראשון שהיה אנדרוגינוס, שהיו לו ארבעה זוגות גפיים, וזאוס הפריד אותו לשנים, לזכר ולנקבה. כוונתו של אפלטון, בהשפעת הפיתגוראים, להמחיש לנו באמצעות אלגוריה זו את מהותו של המספר אחד. צא ולמד שכשם שאדם הראשון קדם לצאצאיו, כך גם האחד קודם לכל שאר המספרים, אבל בהבדל מהם הוא אינו מתמיין לזוגי או לאי זוגי, אלא מכיל גם זה וגם זה, וגם לא את זה ולא את זה. האחד מתחלק לשני אחדים שלכל אחד מהם יש מין שונה. אחד ועוד אחת שווה אחד, אבל התוצאה אחד, היא בעצם המקור שאין לו מין הן של האחד והן של האחת. גם כאן אנחנו לא מחברים את המשמעות המספרית של המספרים אלא את המשמעות המינית שלהם.

יום שני, 3 באפריל 2017

מספרים מצולעים

 מספר משולש ועוד מספר ריבועי
 יוצרים מספר מחומש 


מספר משולש ועוד מספר מחומש 
יוצרים מספר משושה

מקור:

Nicomachus, Introduction to Arithmetic ii. 12. 2-4, ed. Hoche 96. 11-97. 17

יום ראשון, 2 באפריל 2017

המקור לעיצוב של הפנטגרמה ושל ההקסגרמה

משולשים על הצלעות של משולש, על הצלעות של ריבוע, על הצלעות של מחומש, על הצלעות של משושה ... על הצלעות של מתומן. זה נראה כמו עיצוב מכוון. 

יום חמישי, 30 במרץ 2017

מפת הסידורים השונים של המספרים הטבעיים


למעלה משמאל לימין:
מספרים טבעיים
אי זוגיים
זוגיים
זרם של 147
זרם של 258
זרם של 369
למטה:
הגלגולים
השיטה העשרונית


יום שלישי, 28 במרץ 2017

בעיית קיום האובייקטים המתמטיים

אם מציירים נקודת דיו על דף - יש לה קיום פיזי בחלל ובזמן; היא נראית כמו מעגל שיש לו שטח עובי ומרכז. משמעותו של מראה זה סותרת את ההגדרה של אוקלידס את הנקודה כ"זה שאין לו חלקים". עם זאת הגדרתו של אוקלידס נותרת מדויקת  לגבי נקודה שמגבילה קו – ניתן למדוד את הקו ולראות שהנקודה שבסופו איננה מוסיפה עליו אף חלקיק של מילימטר. כך גם לגבי קו שמגביל שטח, ושטח שמגביל נפח. זאת הוכחה לקיום של אובייקטים מתמטיים פיזיים בחלל ובזמן. ניתן לראות נקודה קו ושטח שכאלה באמצעות החושים. לסיכום, האובייקטים המתמטיים הבסיסיים האלה מתנהגים בצורה אחת כשהם מוצגים כשלעצמם, ובצורה אחרת כשהם מוצגים ביחד עם הממד שאחריהם.  



יום שני, 27 במרץ 2017

חלוקת מספר בעצמו כנקודות על מעגל

כל מספר שמתחלק לעצמו מורכב מאחדים, נקודות, שמרחקן מן האפס הוא אותו מרחק. 

יום ראשון, 26 במרץ 2017

3x3


בין כל זוג של נקודות יש נקודה נוספת, אבל היא נמצאת על מעגל אחר, גדול יותר. כך זה במשולש, בריבוע, במחומש (פנטגרמה) במשושה (מגן דוד), ובמתומן (אוקטגרמה). זאת בעצם ההמחשה של הזוגיים, שכן המבנה שלהם הוא של 2x: 
שני אגפים זהים: שלש ושלש (שש), ארבע וארבע (שמונה), חמש וחמש (עשר), שש ושש (שתים עשרה), שמונה ושמונה(שש עשרה). 

יום שבת, 25 במרץ 2017

ארבע על ארבע

בין כל זוג של נקודות יש נקודה נוספת, אבל היא נמצאת על מעגל אחר, גדול יותר. כך זה במשולש, בריבוע, במחומש (פנטגרמה) במשושה (מגן דוד), ובמתומן (אוקטגרמה). זאת בעצם ההמחשה של הזוגיים, שכן המבנה שלהם הוא של 2x: 
שני אגפים זהים: שלש ושלש (שש), ארבע וארבע (שמונה), חמש וחמש (עשר), שש ושש (שתים עשרה), שמונה ושמונה(שש עשרה). 

השעה שתים עשרה

1+11=12
2+10=12...

שמונה בתוך שמונה - אוקטגרמה

האוקטגרמה היא בעצם המחשה של הסדרה ההנדסית של שניים: יש בה שני ריבועים, לכל אחד מהם יש ארבעה קדקודים, סכום הקדקודים האלה הוא שמונה, והם מתחברים כולם במעגל חיצוני שמקיף מעגל פנימי שמחבר עוד שמונה נקודות במפגשי הריבועים. 

יום שישי, 24 במרץ 2017

זוגיים כקווים מקבילים

שניים מורכב מאחד ועוד אחד 
ארבע משניים ועוד שניים
כל אגף של מספר זוגי נמצא על אחד משני קווים מקבילים


יום רביעי, 15 במרץ 2017

החמש כמרכז


חמש הוא מרכזו של התשע, כאשר אחד עד ארבע מצדו האחד, ושש עד תשע מצדו השני. הוא מרכזו של הריבוע של שניים, מרכזו של הריבוע של שלש, ומרכזו של הטטרקטיס, שהוא המספר המשולש של ארבע.  

הפנטגרמה כטטרקטיס

הפיתגוראים העריצו את המספר עשר. הם קראו לו בשם טטרקטיס (צורה של ארבע – טטרה) בגלל שניתן לסדר עשר נקודות  בארבע שורות, בצורת משולש, שבקדקודו נקודה אחת ובבסיסו ארבע. סכום הנקודות הוא עשר: 1+2+3+4=10

*
* *
* * *
*  * * *

בטטרקטיס ניתן, לדעת הפיתגוראים, לגלות את כל חוקי המספרים.
הם העריצו גם את סמל הפנטגרמה וקראו לו בשם היגייה (בריאות). אבל הקשר של הפנטגרמה למספר עשר פחות ידוע מזה של הטטרקטיס.
גם הפנטגרמה מורכבת מעשר נקודות: חמש פנימיות וחמש חיצוניות, שמקיפות אותן.

הטטרקטיס מנבא את הופעת הפנטגרמה כי הוא מורכב מאחד וארבע, ומשניים ושלש - שני זוגות המספרים שכל אחד מהם מרכיב את החמש: אחד וארבע, שניים ושלש:
(1+4)+(2+3)=10

יום שלישי, 14 במרץ 2017

גלגולי הריבועים

גלגול מתרחש כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו. 1 הופך ל 10 והסכום הדיגיטלי של 10 הוא 1 (1 + 0 = 10).
כאשר נוסיף 9 למספר ריבועי ההבדל בין חברי הסדרה החדשה יוצר את הסדרה של המספרים האי-זוגיים.

גלגול המספרים המשולשים

גלגול מתרחש כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו. 
1 הופך ל 10 והסכום הדיגיטלי של 10 הוא 1 (1 + 0 = 10).
2 הופך ל 11 והסכום הדיגיטלי של 11 הוא 2.
3 הופך ל 12 והסכום הדיגיטלי של 12 הוא 3.
חיבור שלושת המספרים החדשים נותן 33, והסכום הדיגיטלי של 33 הוא 6. 

גלגול הזרם של ה- 3-6-9


יום ראשון, 12 במרץ 2017

השיטה העשרונית כמעגל בתוך מעגל

זה העיקרון שמאחורי מד המרחק המכני, כמו מד המרחק של פסקל.
 יש גלגל של יחידות, גלגל של עשרות, גלגל של מאות וכן הלאה. 
המספר 11111 נמצא בעצם על גבי חמישה מעגלים

יום שבת, 11 במרץ 2017

רדיוס הריבוע


קדקודיו של כל מצולע משוכלל נוגעים במעגל החוסם אותו, כך שבמשולש יש שלושה רדיוסים מן הקדקודים ועד למרכז, בריבוע- ארבעה, במחומש - חמישה, וכן הלאה. המשך הרדיוס מביא אותנו לקוטר של המעגל החוסם. קל לראות שכל הקווים האחרים שיוצאים מן המרכז אל המעגל קטנים מן הרדיוס.

יום שישי, 10 במרץ 2017

המספר המשולש האי-זוגי כהולוגרמה



שש הוא המספר המשולש של שלש, ושניים הוא מרכזו (111). במספרים האי-זוגיים אנחנו מכפילים מספר במרכזו כדי לקבל את המספר המשולש שלו. במקרה זה צורת המשולש שמקורה בטטרקטיס הפיתגוראי הופכת להולוגרמה כאשר כל אחד מאבריה הוא המספר השלם.

סכום הספרות בזרם של 369


יום חמישי, 9 במרץ 2017

המשושה כמספר משולש


המספר שש הוא מספר משולש. בדרך כלל רגילים להראות זאת באמצעות שש נקודות שמסודרות בשלש שורות כך שנוצר משולש שבראשו נקודה אחת מתחתיו שתי נקודות ובבסיסו שלש נקודות. למרבה ההפתעה המבנה הזה מתגלה לעין גם כאשר מעבירים את אלכסוני המשושה, המחלקים אותו לששה משולשים: אחד למעלה, שניים מתחתיו ושלושה מתחתיהם. 

בניית הגנומון של האי זוגיים


סביב נקודה כלשהי משרטטים מעגל ראשון באמצעות מחוגה. הנקודה של המעגל הראשון איננה ניתנת למדידה.
מנקודת המפגש של הרדיוס עם המעגל משרטטים מעגל שני.
נקודת המפגש העליונה של שני המעגלים היא קדקוד של משולש שווה צלעות.
ממנו עד למרכזי המעגלים משרטטים בסרגל את שתי הצלעות, שכל אחת מהן היא קטע שניתן למדידה.
בין מרכזי המעגלים משרטטים את הבסיס. כך שיש לנו כעת שלושה קדקודים שהם השלוש.  
ממשיכים את הקווים של צלעות המשולש.
הם פוגשים את המעגל השני בשתי נקודות שיוצרות למשולש בסיס חדש שמקביל לבסיס הקודם.
כעת יש לנו ביחד עם הנקודות הקודמות חמש נקודות שהן החמש.
מנקודת הבסיס של החמש משרטטים עוד מעגל באותו רדיוס.
הוא פוגש את המשכי הצלעות של המשולש בשתי נקודות שיוצרות בסיס חדש שמקביל לבסיס הקודם.

יום רביעי, 8 במרץ 2017

הזווית כצורה של האי זוגיים

הפיתגוראים קראו בשם "גנומון" לנקודות שמסודרות בצורת זווית שבאמצעותן ניתן לעבור מריבוע לריבוע שמעליו. עוברים מהריבוע של האחד לריבוע של הארבע באמצעות שלשה אחדים. עוברים מהארבע לתשע באמצעות חמישה אחדים שמתחלקים לשתי קבוצות של שניים ולעוד אחד. עוברים מהתשע לשש עשרה באמצעות שתי קבוצות של שלש ועוד אחד, וכן הלאה. סדרת המספרים הזאת שמוסיפים לריבוע כדי לעבור לריבוע שמעליו היא בעצם סדרת האי זוגיים, שמה שמאפיין אותה הוא שיש לכל איבר שלה שני אגפים שווים ועוד אחד, או בשפת האריתמטיקה 2x+1. הראשון בסדרה הזאת הוא המספר שלש, ולכן הוא נחשב לאבי סדרת האי זוגיים.
שמו של המספר שלש מדגים את העיקרון של הגנומון, כי יש בו שתי אותיות זהות באגפים ועוד אות אחת ששונה מהן - באמצע. 

יום שלישי, 7 במרץ 2017

איך הופך המרכז לקדקוד

השלש הוא המרכז של הקו, או של המספר האי זוגי. הוא האחד שבין שני האגפים השווים שלשני צדדיו. אם מושכים את המרכז של הקו נוצרת זווית. ואם סוגרים אותה - נוצר משולש. 

אינסוף בריבוע

הקו של המספרים הוא אינסופי. חלק ממנו אנחנו מכירים וחלק, שסביר להניח שהוא יותר גדול, איננו מכירים. ובחלק שאיננו מכירים עוד יש לכל מספר ריבוע ומעוקב... 

יום חמישי, 2 במרץ 2017

משפט פיתגורס מזווית משונה


בריבוע של 5 יש 25 נקודות והן מסודרות כך שיש 16 מהן על היקפו ועוד 9 בריבוע הפנימי שלו

יום רביעי, 1 במרץ 2017

הנקודה הקו ומכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים אותם עצמים מגלים תכונות של חלקיק ושל גל, שהן לכאורה תכונות שסותרות זו את זה, שהרי החלקיק הוא בדיד, ואילו הגל הוא רציף. החלקיק מופיע לבד, ואילו הגל, כמו הקבוצה, מופיע ביחד.

בגיאומטריה הנקודה היא תופעה  בדידה, כמו החלקיק, ואילו הקו הוא תופעה רציפה כמו הגל. אך בגיאומטריה, מלבד הניגודיות שבין אחדות לריבוי, יש גם ניגוד בין סופיות הנקודה לבין האינסופיות של הקו. עם זאת, למרות שהקו הוא אינסופי הוא אחד.
במספרים האחד הוא תופעה  בדידה, כמו החלקיק וכמו הנקודה, ואילו סדרות המספרים למיניהן, כולל טור המספרים הטבעיים, הן בבחינת תופעה רציפה כמו הגל וכמו הקו.
כל מספר מתגלה בבדידותו כאשר הוא מתחלק בעצמו.

כל אחד מתשעת המספרים הראשונים הוא תופעה  בדידה, אך העשר הופך אותם לקבוצה, שהיא קו, או אם תרצו, בשפה של מכניקת הקוונטים... גל. 

הערה:
החלקיק היסודי של האינפורמציה הוא ה BIT, האחד או האפס של השיטה הבינרית.

יום שני, 27 בפברואר 2017

מרכז של קו לעומת מרכז של שטח

חמש הוא המרכז של התשע בין אם התשע מופיע על טור המספרים הטבעיים ובין אם הוא מופיע כריבוע של שלש

המספר תלוי בכיוון הספירה


הקו של המספרים הטבעיים


כל מספר הוא נקודה בתוך מעגל שהרדיוס שלו זהה לזה של העיגול הראשון, וביחד הם יוצרים את הקו של המספרים הטבעיים

יום ראשון, 26 בפברואר 2017

מכפלת פלינדרומים מנקודת מבט גיאומטרית

ראינו ש11 כפול 11 יוצר ריבוע של ארבע נקודות. כאן אנו רואים ש22 כפול 22 יוצר ריבוע של 16 נקודות, כאשר סכום המכפלה הוא 484, וסכום חיבור הספרות של סכום זה הוא 16. 
דרך אגב 484 הוא סכום הפלינדרומים הדו ספרתיים:
11
22
33
44
55
66
77
88
99
----

484











יום שבת, 25 בפברואר 2017

טטרקטיס שעשוי מקווים


הצורה הנעימה של הטטרקטיס המשולש אפשרית רק כשהוא עשוי מנקודות. כשהוא עשוי מקווים הוא נראה כמו טרפז מגושם.

יום רביעי, 22 בפברואר 2017

השיטה העשרונית כקובייה


10 הוא הנקודה שמתחילה את הקו הראשון
לפניו יש תשע נקודות נפרדות שהן תשעה מספרים בדידים
100 - הוא שטח
1000 הוא נפח

יום שלישי, 21 בפברואר 2017

המספרים הראשונים מנקודת מבט גיאומטרית


האחד שאינו נמדד הוא נקודה במרכזו של מעגל.
השניים הוא נקודה כלשהי על היקפו של אותו מעגל.
בין האחד לשניים האלה עובר קו שהוא האחד שנמדד.
השלש הוא הנקודה שבאחת מנקודות החיתוך של המעגלים.
הארבע הוא הנקודה שמול השלוש.
האחד השניים והשלוש יוצרים משולש שווה שוקיים שבנוי מרדיוסים.

הארבעה יוצרים מעוין שבנוי מרדיוסים.

בריאת שלושת המספרים הראשונים

יום ראשון, 19 בפברואר 2017

טטרקטיס כלוח כפל זעיר


אנחנו רגילים ללוח הכפל שהוא בצורת ריבוע, ושבאמצעותו ניתן לחשב את הכפולות של עשרת המספרים הראשונים; אבל הפיתגוראים כבר הראו שאפשר להתייחס לטטרקטיס, שהוא משולש 
שבנוי מנקודות, כאילו שהוא הלוח שבו המספר הראשון, אחד, כופל עצמו בארבעת המספרים הראשונים... וניתן להסיק מכאן שאם נציב במקום אחד מספר אחר, כמו שלוש, לדוגמה, נקבל את כפולותיו של המספר החדש. כמובן שניתן להאריך את הטטרקטיס באמצעות הוספת שורות מתחתיו ככל שרוצים. 

יום שישי, 17 בפברואר 2017

מספרים משולשים על היתר של משולש ישר זווית

השארתי את המספרים המשולשים עצמם מחוץ לתמונה כדי שהאיור יראה מעניין יותר. המספרים החסרים הם:
1, 3, 6, 10, 15...
האיור מלמד על הקשר בין מספר השורה לבין המספר המשולש "שלה", שמופיע בקצה השורה, ועל היתר של משולש ישר זווית.

יום רביעי, 15 בפברואר 2017

מרכזי האי זוגיים וריבועיהם


איך המספרים המשולשים יוצרים ריבועים


כל ריבוע בנוי משני משולשים. בתרגום של המבנה הגאומטרי של נקודות בצורת ריבוע למספרים נהוג לספור את האלכסון פעם אחת ולכן, לדוגמה, בריבוע של תשע יש רק 9 נקודות ולא 12, שהן החיבור של שני משולשים שבכל אחד מהם יש 6 נקודות. ליתר דיוק אם היינו סופרים את האלכסון של הריבוע פעמיים הוא היה מקבל צורה של מלבן שאורך צלעותיו 4X3
לעיוות הזה בספירה יש השלכות על האופן שבו אנחנו מחשבים את הריבועים כאילו שהם בנויים משני מספרים משולשים עוקבים, כמו לדוגמה:
1+2=3
1+2+3=6

3+6=9=32

יום שני, 13 בפברואר 2017

אחד בשלושה ממדים


האחד של אוקלידס הוא נקודה שאין לה אורך רוחב או עומק, אבל הנקודה מופיעה רק בממד הראשון, ממד הקו.
בממד השני, ממד השטח, האחד אינו נקודה אלא ריבוע. במחברת החשבון דף המשבצות מורכב מריבועים זעירים. האחד הוא ריבוע שכזה. השניים הוא שני ריבועים שכאלה, וכן הלאה. כאשר מחלקים מספר לעצמו על דף המשבצות הזה נשאר לנו ריבוע אחד.

בממד השלישי, ממד הנפח, האחד הוא קובייה. במידות הוא סמ"ק, שנראה כמו קובייה.   

הטטרקטיס של חמישים וחמש

"סכום ספרות סופי" של 55 הוא 1. של 65 -2. וכך הלאה עד 135 שהוא 9, ואחריו בא ה-145 שסכום הספרות הלא סופי שלו הוא 10.  

המכפלות של שתיים


כל אחת מהמכפלות של שתיים היא או ריבוע שהוא חצי מלבן או מלבן שהוא חצי ריבוע:
2=(4/2)=(8/4)=(16/8)=(32/16)=(64/32)...
כך או כך הם נכנסים זה בתוך זה

יום שני, 6 בפברואר 2017

הולדת הטטרקטיס

הטטרקטיס נחשב לאימא של המספרים. רואים באמצעותו כיצד ארבעת המספרים הראשונים מולידים את העשר כסיכום שלהם, ואחרי עשרת המספרים הראשונים שבטטרקטיס כל המספרים הבאים אחריהם אינם אלא העתקים שלהם. אבל איך נולד הטטרקטיס עצמו?



הטטרקטיס הוא המספר המשולש של ארבע. מבחינה גיאומטרית הוא בנוי כמשולש שווה שוקיים שעל צלעותיו מפוזרות תשע נקודות ובחללו הפנימי יש נקודה אחת. הנקודה האחת הופכת לשלש נקודות במספר המשולש של חמש, שאותו מקבלים על ידי ציור חמש הנקודות שמתחת לבסיס של הטטרקטיס. שלש הנקודות הופכות לשש במספר המשולש של שש, והן הופכות לעשר (הטטרקטיס) במספר המשולש של שבע, שכולל 28 נקודות.
שבע הוא מספר אי זוגי שבנוי במתכונת של (2x+1), כלומר יש בו שני אגפים שווים וביניהם אחד, שהוא המספר המרכזי בשבע. כל אגף בשבע הוא 3, והמספר המרכזי הוא 4. וכך גם במספרים המשולשים: המספר המשולש של ארבע הוא במרכזו של המספר המשולש של שבע.
התופעה הנ"ל עמדה ככל הנראה לנגד עיני הפיתגוראים כשהעניקו לטטרקטיס, בין היתר, את הכינוי "אימא", כי בתוך חללו הפנימי, שהוא כביכול רחמה של האם, כבר יש את ההתחלה של הטטרקטיס הבא.
התופעה הנ"ל מזכירה גם את הסיפור המקראי על בריאת העצים:
וַיֹּאמֶר אֱלֹהִים:... עֵץ פְּרִי עֹשֶׂה פְּרִי לְמִינוֹ אֲשֶׁר זַרְעוֹ בוֹ (בראשית א, יא)   
והיא מזכירה גם את הביטוי המשנאי צְבָת בִּצְבָת עֲשׂוּיָה [אָבוֹת, פֶּרֶק חֲמִישִׁי, מִשְׁנָה ה, ח]*.

*הערה:
גם הסדרה ההנדסית של השניים: 2, 4, 8, 16...
שבה כל מספר הוא או ריבוע שהוא חצי מלבן או מלבן שהוא חצי ריבוע מזכירה את הביטוי המשנאי צְבָת בִּצְבָת עֲשׂוּיָה 



יום ראשון, 5 בפברואר 2017

התייחסות של יוהאנס קפלר לטטרקטיס

מקור:
Kepler, Johannes, et al. The harmony of the world. Vol. 209. American Philosophical Society, 1997, p. 135

עיקרי הדברים:
בצורה הגיאומטרית של המספרים המשולשים שאחרי האחד, בשלוש ובשש, הנקודות מפוזרות על צלעות המשולש שווה השוקיים, אבל בטטרקטיס מופיעה לראשונה נקודה במרחב הפנימי של המשולש.