יום חמישי, 30 במרץ 2017

מפת הסידורים השונים של המספרים הטבעיים


למעלה משמאל לימין:
מספרים טבעיים
אי זוגיים
זוגיים
זרם של 147
זרם של 258
זרם של 369
למטה:
הגלגולים
השיטה העשרונית


יום שלישי, 28 במרץ 2017

בעיית קיום האובייקטים המתמטיים

אם מציירים נקודת דיו על דף - יש לה קיום פיזי בחלל ובזמן; היא נראית כמו מעגל שיש לו שטח עובי ומרכז. משמעותו של מראה זה סותרת את ההגדרה של אוקלידס את הנקודה כ"זה שאין לו חלקים". עם זאת הגדרתו של אוקלידס נותרת מדויקת  לגבי נקודה שמגבילה קו – ניתן למדוד את הקו ולראות שהנקודה שבסופו איננה מוסיפה עליו אף חלקיק של מילימטר. כך גם לגבי קו שמגביל שטח, ושטח שמגביל נפח. זאת הוכחה לקיום של אובייקטים מתמטיים פיזיים בחלל ובזמן. ניתן לראות נקודה קו ושטח שכאלה באמצעות החושים. לסיכום, האובייקטים המתמטיים הבסיסיים האלה מתנהגים בצורה אחת כשהם מוצגים כשלעצמם, ובצורה אחרת כשהם מוצגים ביחד עם הממד שאחריהם.  



יום שני, 27 במרץ 2017

חלוקת מספר בעצמו כנקודות על מעגל

כל מספר שמתחלק לעצמו מורכב מאחדים, נקודות, שמרחקן מן האפס הוא אותו מרחק. 

יום ראשון, 26 במרץ 2017

3x3


בין כל זוג של נקודות יש נקודה נוספת, אבל היא נמצאת על מעגל אחר, גדול יותר. כך זה במשולש, בריבוע, במחומש (פנטגרמה) במשושה (מגן דוד), ובמתומן (אוקטגרמה). זאת בעצם ההמחשה של הזוגיים, שכן המבנה שלהם הוא של 2x: 
שני אגפים זהים: שלש ושלש (שש), ארבע וארבע (שמונה), חמש וחמש (עשר), שש ושש (שתים עשרה), שמונה ושמונה(שש עשרה). 

יום שבת, 25 במרץ 2017

ארבע על ארבע

בין כל זוג של נקודות יש נקודה נוספת, אבל היא נמצאת על מעגל אחר, גדול יותר. כך זה במשולש, בריבוע, במחומש (פנטגרמה) במשושה (מגן דוד), ובמתומן (אוקטגרמה). זאת בעצם ההמחשה של הזוגיים, שכן המבנה שלהם הוא של 2x: 
שני אגפים זהים: שלש ושלש (שש), ארבע וארבע (שמונה), חמש וחמש (עשר), שש ושש (שתים עשרה), שמונה ושמונה(שש עשרה). 

השעה שתים עשרה

1+11=12
2+10=12...

שמונה בתוך שמונה - אוקטגרמה

האוקטגרמה היא בעצם המחשה של הסדרה ההנדסית של שניים: יש בה שני ריבועים, לכל אחד מהם יש ארבעה קדקודים, סכום הקדקודים האלה הוא שמונה, והם מתחברים כולם במעגל חיצוני שמקיף מעגל פנימי שמחבר עוד שמונה נקודות במפגשי הריבועים. 

יום שישי, 24 במרץ 2017

זוגיים כקווים מקבילים

שניים מורכב מאחד ועוד אחד 
ארבע משניים ועוד שניים
כל אגף של מספר זוגי נמצא על אחד משני קווים מקבילים


יום רביעי, 15 במרץ 2017

החמש כמרכז


חמש הוא מרכזו של התשע, כאשר אחד עד ארבע מצדו האחד, ושש עד תשע מצדו השני. הוא מרכזו של הריבוע של שניים, מרכזו של הריבוע של שלש, ומרכזו של הטטרקטיס, שהוא המספר המשולש של ארבע.  

הפנטגרמה כטטרקטיס

הפיתגוראים העריצו את המספר עשר. הם קראו לו בשם טטרקטיס (צורה של ארבע – טטרה) בגלל שניתן לסדר עשר נקודות  בארבע שורות, בצורת משולש, שבקדקודו נקודה אחת ובבסיסו ארבע. סכום הנקודות הוא עשר: 1+2+3+4=10

*
* *
* * *
*  * * *

בטטרקטיס ניתן, לדעת הפיתגוראים, לגלות את כל חוקי המספרים.
הם העריצו גם את סמל הפנטגרמה וקראו לו בשם היגייה (בריאות). אבל הקשר של הפנטגרמה למספר עשר פחות ידוע מזה של הטטרקטיס.
גם הפנטגרמה מורכבת מעשר נקודות: חמש פנימיות וחמש חיצוניות, שמקיפות אותן.

הטטרקטיס מנבא את הופעת הפנטגרמה כי הוא מורכב מאחד וארבע, ומשניים ושלש - שני זוגות המספרים שכל אחד מהם מרכיב את החמש: אחד וארבע, שניים ושלש:
(1+4)+(2+3)=10

יום שלישי, 14 במרץ 2017

גלגולי הריבועים

גלגול מתרחש כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו. 1 הופך ל 10 והסכום הדיגיטלי של 10 הוא 1 (1 + 0 = 10).
כאשר נוסיף 9 למספר ריבועי ההבדל בין חברי הסדרה החדשה יוצר את הסדרה של המספרים האי-זוגיים.

גלגול המספרים המשולשים

גלגול מתרחש כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו. 
1 הופך ל 10 והסכום הדיגיטלי של 10 הוא 1 (1 + 0 = 10).
2 הופך ל 11 והסכום הדיגיטלי של 11 הוא 2.
3 הופך ל 12 והסכום הדיגיטלי של 12 הוא 3.
חיבור שלושת המספרים החדשים נותן 33, והסכום הדיגיטלי של 33 הוא 6. 

גלגול הזרם של ה- 3-6-9


יום ראשון, 12 במרץ 2017

השיטה העשרונית כמעגל בתוך מעגל

זה העיקרון שמאחורי מד המרחק המכני, כמו מד המרחק של פסקל.
 יש גלגל של יחידות, גלגל של עשרות, גלגל של מאות וכן הלאה. 
המספר 11111 נמצא בעצם על גבי חמישה מעגלים

יום שבת, 11 במרץ 2017

רדיוס הריבוע


קדקודיו של כל מצולע משוכלל נוגעים במעגל החוסם אותו, כך שבמשולש יש שלושה רדיוסים מן הקדקודים ועד למרכז, בריבוע- ארבעה, במחומש - חמישה, וכן הלאה. המשך הרדיוס מביא אותנו לקוטר של המעגל החוסם. קל לראות שכל הקווים האחרים שיוצאים מן המרכז אל המעגל קטנים מן הרדיוס.

יום שישי, 10 במרץ 2017

המספר המשולש האי-זוגי כהולוגרמה



שש הוא המספר המשולש של שלש, ושניים הוא מרכזו (111). במספרים האי-זוגיים אנחנו מכפילים מספר במרכזו כדי לקבל את המספר המשולש שלו. במקרה זה צורת המשולש שמקורה בטטרקטיס הפיתגוראי הופכת להולוגרמה כאשר כל אחד מאבריה הוא המספר השלם.

סכום הספרות בזרם של 369


יום חמישי, 9 במרץ 2017

המשושה כמספר משולש


המספר שש הוא מספר משולש. בדרך כלל רגילים להראות זאת באמצעות שש נקודות שמסודרות בשלש שורות כך שנוצר משולש שבראשו נקודה אחת מתחתיו שתי נקודות ובבסיסו שלש נקודות. למרבה ההפתעה המבנה הזה מתגלה לעין גם כאשר מעבירים את אלכסוני המשושה, המחלקים אותו לששה משולשים: אחד למעלה, שניים מתחתיו ושלושה מתחתיהם. 

בניית הגנומון של האי זוגיים


סביב נקודה כלשהי משרטטים מעגל ראשון באמצעות מחוגה. הנקודה של המעגל הראשון איננה ניתנת למדידה.
מנקודת המפגש של הרדיוס עם המעגל משרטטים מעגל שני.
נקודת המפגש העליונה של שני המעגלים היא קדקוד של משולש שווה צלעות.
ממנו עד למרכזי המעגלים משרטטים בסרגל את שתי הצלעות, שכל אחת מהן היא קטע שניתן למדידה.
בין מרכזי המעגלים משרטטים את הבסיס. כך שיש לנו כעת שלושה קדקודים שהם השלוש.  
ממשיכים את הקווים של צלעות המשולש.
הם פוגשים את המעגל השני בשתי נקודות שיוצרות למשולש בסיס חדש שמקביל לבסיס הקודם.
כעת יש לנו ביחד עם הנקודות הקודמות חמש נקודות שהן החמש.
מנקודת הבסיס של החמש משרטטים עוד מעגל באותו רדיוס.
הוא פוגש את המשכי הצלעות של המשולש בשתי נקודות שיוצרות בסיס חדש שמקביל לבסיס הקודם.

יום רביעי, 8 במרץ 2017

הזווית כצורה של האי זוגיים

הפיתגוראים קראו בשם "גנומון" לנקודות שמסודרות בצורת זווית שבאמצעותן ניתן לעבור מריבוע לריבוע שמעליו. עוברים מהריבוע של האחד לריבוע של הארבע באמצעות שלשה אחדים. עוברים מהארבע לתשע באמצעות חמישה אחדים שמתחלקים לשתי קבוצות של שניים ולעוד אחד. עוברים מהתשע לשש עשרה באמצעות שתי קבוצות של שלש ועוד אחד, וכן הלאה. סדרת המספרים הזאת שמוסיפים לריבוע כדי לעבור לריבוע שמעליו היא בעצם סדרת האי זוגיים, שמה שמאפיין אותה הוא שיש לכל איבר שלה שני אגפים שווים ועוד אחד, או בשפת האריתמטיקה 2x+1. הראשון בסדרה הזאת הוא המספר שלש, ולכן הוא נחשב לאבי סדרת האי זוגיים.
שמו של המספר שלש מדגים את העיקרון של הגנומון, כי יש בו שתי אותיות זהות באגפים ועוד אות אחת ששונה מהן - באמצע. 

יום שלישי, 7 במרץ 2017

איך הופך המרכז לקדקוד

השלש הוא המרכז של הקו, או של המספר האי זוגי. הוא האחד שבין שני האגפים השווים שלשני צדדיו. אם מושכים את המרכז של הקו נוצרת זווית. ואם סוגרים אותה - נוצר משולש. 

אינסוף בריבוע

הקו של המספרים הוא אינסופי. חלק ממנו אנחנו מכירים וחלק, שסביר להניח שהוא יותר גדול, איננו מכירים. ובחלק שאיננו מכירים עוד יש לכל מספר ריבוע ומעוקב... 

יום חמישי, 2 במרץ 2017

משפט פיתגורס מזווית משונה


בריבוע של 5 יש 25 נקודות והן מסודרות כך שיש 16 מהן על היקפו ועוד 9 בריבוע הפנימי שלו

יום רביעי, 1 במרץ 2017

הנקודה הקו ומכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים אותם עצמים מגלים תכונות של חלקיק ושל גל, שהן לכאורה תכונות שסותרות זו את זה, שהרי החלקיק הוא בדיד, ואילו הגל הוא רציף. החלקיק מופיע לבד, ואילו הגל, כמו הקבוצה, מופיע ביחד.

בגיאומטריה הנקודה היא תופעה  בדידה, כמו החלקיק, ואילו הקו הוא תופעה רציפה כמו הגל. אך בגיאומטריה, מלבד הניגודיות שבין אחדות לריבוי, יש גם ניגוד בין סופיות הנקודה לבין האינסופיות של הקו. עם זאת, למרות שהקו הוא אינסופי הוא אחד.
במספרים האחד הוא תופעה  בדידה, כמו החלקיק וכמו הנקודה, ואילו סדרות המספרים למיניהן, כולל טור המספרים הטבעיים, הן בבחינת תופעה רציפה כמו הגל וכמו הקו.
כל מספר מתגלה בבדידותו כאשר הוא מתחלק בעצמו.

כל אחד מתשעת המספרים הראשונים הוא תופעה  בדידה, אך העשר הופך אותם לקבוצה, שהיא קו, או אם תרצו, בשפה של מכניקת הקוונטים... גל. 

הערה:
החלקיק היסודי של האינפורמציה הוא ה BIT, האחד או האפס של השיטה הבינרית.